2011年考研數學線性代數命題特點及復習指導

考研數學真題答案來源：中國考研網 2011-01-20　

線性代數一共是5道考題，兩個選擇題，一個填空題，兩個解答題，兩個解答題是22分，今年這兩道大題都是計算題，并且數學一、二、三考得是完全一樣的，一道向量組線性表出的問題，一道有關實對稱矩陣的題目。

相對于10年的線性代數題目來說，今年的線性代數題目與10年的題目難度相當，10年的兩個大題中，數一、數二、數三第一道大題都考察了一個帶參數非齊次線性方程組的求解，這道題涉及到了參數的問題以及非齊次線性方程組解的結構，而今年的第一道大題考察了兩個向量組之間可否線性表出的問題，其實質也是非齊次線性方程組的求解問題，但是相對10年的第一道題來說，靈活性稍微強一些。你首先要根據不能表出，即方程組無解確定待定參數，然后第二問：將用線性表示，實質上仍然是求解方程組，要求解三個系數矩陣均為的方程組，我們只需要將系數矩陣和常數項全部放在一起進行初等行變換即可，即對進行初等行變換。

對于第二道大題，數一、數二、數三都考察了抽象實對稱矩陣的特征值和特征向量以及反求矩陣A。首先需要根據已知條件確定矩陣A的特征值，這就需要掌握矩陣特征值所具有的一些性質，例如：為三階矩陣，的秩為2，則A有一個特征值為0；其中是維列向量。則有個零特征值，另一個特征值為；A的各行元素之和均為3，則A有特征值為3等等。只有了解這些性質，才能準確迅速的解答問題。這道題中通過一個矩陣方程以及，我們可以比較輕松的確定A的特征值為，，并且可以得到對應于的特征向量。然后還需要確定出對應的特征向量，這就需要用的實對稱矩陣的性質：不同特征值對應的特征向量是相互正交的，這個性質是實對稱矩陣中最常用也是最重要的一個性質，必須記住并會用。另外，需要說明的是讓求特征向量不能單單寫出一個向量，要寫出全部的特征向量，否則會扣分，這是大家需要注意的一個小的細節問題。第二問是需要反求矩陣A，只要求出特征值和特征向量，這一問相對來說就簡單了很多，主要涉及到的是矩陣相乘，是計算的問題。這是我們11年考的第二個線代大題，10年數一考察的是已知二次型在正交變換x=Qy下的標準形以及Q的第三列，反求A的問題，這也是一個抽象的問題，并且計算量有點大。相對來說，今年的線性代數題的兩道大題和10年的線性代數題難度相當。從今年出題的情況來看，考得很全面，六章，每一章都考到了，章章都有考的出題點，題目還是有一些靈活性的。

從大綱的角度來看，現在數一、數二、數三的考試大綱幾乎完全一樣，數一的同學多一個知識點，多一個向量空間，而今年恰好考了一個二次曲面的填空題，其實質是二次型化標準形的問題。線性代數今年這五道題來說，兩道解答題，數一、數二、數三完全一樣，選擇題有一個是完全一樣的，填空題是完全不一樣的，但這三道題都是考察二次型的題目。從這幾年考試的特點來看，線性代數題考得很基本，而線性代數題本身比較靈活，一道題往往有多種解法，基于這樣的情況，作為2012年的考生，如果要準備線性代數的復習的話，還是應該按照考研題的特點，重視基礎，把概念搞清楚，把基本的東西搞清楚。

以上我們從考試知識點方面對2011年考研數學試題線性代數部分考點進行了分析。從歷年的數學考題來看，命題組的專家都是緊緊扣住三基本，“基本概念、基本理論、基本方法”，試卷中基礎知識的考查占有相當大的比例，所以對準備2012年考試的同學來說，復習時首先應該注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一個堅實的數學基礎，書本上每一個概念、每一個原理都要理解到位，切不可開始就看復習資料而放棄課本的復習。在第一次的全面復習中，還要扎扎實實的把每個大綱要求的知識點都過一遍，查漏補缺；其次，注重公式的記憶，方法的掌握和應用。在研讀教材時要重視習題，不要求每個概念都背下來，但一定要熟習它是如何反映在題目中的；最后，要注意綜合。今年解答題主要是考察綜合能力，我們這種綜合能力不是簡單的一個知識點、兩個知識點，都是跨章節的，涉及多個知識點的綜合題。不管是線性代數還是概率論與數理統計，還是微積分，一定要加強綜合、加強訓練。