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《高等數學》考試大綱

一、考試大綱的性質

《高等數學》自命題。本大綱適用于報考我校環境科學專業的碩士考生。

二、考試內容與要求

微積分

（一）函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、反函數、分段函數和隱函數；基本初等函數的性質及其圖形；初等函數；函數關系的建立；數列極限與函數極限的定義及其性質；函數的左極限和右極限；無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較；極限的四則運算；極限存在的兩個準則；兩個重要極限；函數連續的概念；函數間斷點的類型；初等函數的連續性；閉區間上連續函數的性質。

考試要求

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。

2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5.了解極限的概念，了解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系。

6.掌握極限的性質及四則運算法則。

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9.理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。

10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

（二）一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念；導數的幾何意義和物理意義；函數的可導性與連續性之間的關系；平面曲線的切線和法線；導數和微分的四則運算；基本初等函數的導數；復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的求導法；高階導數；一階微分形式的不變性；微分中值定理；洛必達法則；函數單調性的判別；函數的極值；函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線；

函數的最大值與最小值。

考試要求

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5.理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理。

6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。

8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線。

（三）一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念；不定積分的基本性質；基本積分公式；定積分的概念和基本性質；定積分中值定理；積分上限的函數及其導數；牛頓－萊布尼茨（Newton–Leibniz）公式；不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；反常（廣義）積分；定積分的應用。

考試要求

理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。
掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分與分部積分法。
理解積分上限函數的概念，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式。
了解反常積分的概念，會計算反常積分。
掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及平行截面面積為已知的立體體積）及函數的平均值。
（四）多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念；二元函數的幾何意義；二元函數的極限與連續的概念；有界閉區域上多元連續函數的性質；多元函數的偏導數和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復合函數、隱函數的求導法；二階偏導數；多元函數的極值和條件極值、最大值、最小值及二重積分的概念、基本性質和計算

考試要求

1.了解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

2.了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。

3.了解多元函數偏導數和全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱含數存在定理，會求多元隱含數的偏導數。

4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

5.了解二重積分的概念和基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。

（五）常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階常系數齊次線性微分方程；簡單的二階常系數非齊次線性微分方程；微分方程的簡單應用。

考試要求

了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程。
會用降階法解下列形式的微分方程：。
理解線性微分方程解的性質及解的結構。
掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，會解簡單的二階常系數非齊次線性微分方程。
會用微分方程解決一些簡單的應用問題。
線性代數

（六）行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質；行列式按行（列）展開定理

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質。

2.會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。

（七）矩陣

考試內容

矩陣的概念；矩陣的線性運算；矩陣的乘法；方陣的冪；方陣乘積的行列式；矩陣的轉置；逆矩陣的概念和性質；矩陣可逆的充分必要條件；伴隨矩陣；矩陣的初等變換；初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算。

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質。

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

4.理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

5.了解分塊矩陣及其運算。

（八）向量

考試內容

向量的概念；向量的線性組合和線性表示；向量組的線性相關與線性無關；向量組的極大線性無關組；等價向量組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關系；向量的內積。

考試要求

1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念。

2.理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判定。

3.了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。

4.了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系。

5.了解內積的概念。

（九）線性方程組

考試內容

線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質和解的結構；齊次線性方程組的基礎解系和通解；非齊次線性方程組的通解。

考試要求

1.會用克萊姆法則。

2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

3.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。

4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

（十）矩陣的特征值和特征向量

考試內容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質；相似變換、相似矩陣的概念及性質；矩陣可對角化的充分必要條件；實對稱矩陣的特征值、特征向量及其對角化。

考試要求

1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣的特征值和特征向量。

2.理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為對角矩陣的方法。

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。

（十一）二次型

考試內容

二次型及其矩陣表示；合同變換與合同矩陣；二次型的秩；慣性定理；二次型的標準形和規范形；用正交變換和配方法化二次型為標準形；二次型及其矩陣的正定性。

考試要求

1．了解二次型及其矩陣表示，了解二次型軼的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標準形、規范形的概念以及慣性定理。

2．了解用正交變換二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形。

3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

三、考試方式及時間

考試方式為筆試，時間為3小時，滿分150分。

四、試卷結構

（一）微積分與線性代數所占比例

微積分約占總分的70％，線性代數約占總分的30％。

（二）試卷的結構

1、計算或解答題：占總分的85％左右。覆蓋本門課程的基本概念和各部分的計算題、應用題。

2、證明題：占總分的15％左右。

每年的試卷結構會有稍許變化，學校不另行通知，以當年的試卷為準。

五、參考書

1、《高等數學》（第五版，上下冊）同濟大學數學教研室，高等教育出版社；

2、《線性代數》（第三版）同濟大學數學教