考研指導：概率論與數理統計復習十問

考研數學來源：海天教育 2010-04-07　

1. 概率的公式、概念比較多，怎么記？

答：我們看這樣一個模型，這是概率里經常見到的，從實際產品里面我們每次取一個產品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽簽抓鬮的模型。現在我說四句話，大家看看有什么不同，第一句話“求一下第三次取到十件產品有七件正品三件次品，我們每次取一件，取后不放回”，下面我們來求四個類型，第一問我們求第三次取得次品的概率。第二問我們求第三次才取得次品的概率。第三問已知前兩次沒有取得次品第三次取到次品。第四問不超過三次取到次品。大家看到這四問的話我想是容易糊涂的，這是四個完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生認為有的就是一個類型，但實際上是不一樣的。

先看第一個“第三次取得次品”，這個概率與前面取得什么和后面取得什么都沒有關系，所以這個我們叫絕對概率。第一個概率我想很多考生都知道，這個概率應該是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出來都是十分之三。這個概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是說這個概率與次數是沒有關系的。所以在這里我們可以看出，日常生活中抽簽、抓鬮從數學上來說是公平的。

拿這個模型來說，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我們再看看第二個概率，第三次才取到次品的概率，這個事件描述的是績事件，這是概率里重要的概念，改變表示同時發生的概率。但是這個與第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以這樣表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC績事件發生的概率。第三問表示條件概率，已知前兩次沒有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三問求的就是一個條件概率。我們看第四問，不超過三次取得次品，這是一個和事件的概率，就是P(A＋B＋C)。從這個例子大家可以看出，概率論確實對題意的理解非常重要，要把握準確，否則就得不到準確的答案。

2. 概率的數理統計要怎么復習？什么叫幾何型概率？

答：幾何型概率原則上只有理工科考，是數學一考察的對象，最近兩年經濟類的大綱也加進來了，但還沒有考過，數學三、數學四的話雖然明確寫在大綱里，還沒有考。明年是否可能考呢？幾何概率是一個考點，但不是一個考察的重點。我個人認為一是它考的可能性很小，如果考也是考一個小題，或者是選擇題或者是填空題或者在大題里運用一下概率的模式，就是一個事件發生的概率是等于這個事件的度量或者整個樣本空間度量的比。這個度量的話指的是面積，一維空間指的是長度，二維空間指的是面積，三維空間指的是體積。所以幾何概率指的是長度的比、面積的比和體積的比。重點是面積的比，是二維的情況。

何概率其實很簡單，是一個程序化的過程，按這四個步驟你肯定能做出來。第一步把樣本空間和讓你求概率的事件用幾何表示出來。第二步既然是幾何概率那就是圖形，第二步把幾何圖形畫出來。第三步你就把樣本空間和讓你求概率的事件所在的幾何圖形的度量，就是剛才所說的面積或者體積求出來。第三步代公式。以前考過的幾何概率的題度量的計算都是用初等的方法做，我推測下次考的話，可能會難一點的。比如說用意項，面積可能用到定積分或者重積分計算，把概率和高等數學聯系起來。

關于第二個問題，概率統計怎么復習，今年的考試分配很不正常，明年不會是這樣的情況。我想明年數學一(統計)應該考一個八、九分的題是比較適中的。從今年考試中心的樣題統計這一塊是九分。數學三(統計)應該八分左右，統計這一塊大家不要放棄，明年可能會考，分數應該是八、九分的題。至于復習，它的內容占了四分之一的樣子。但是這一部分的題相對于概率題比較固定，做題的方法也比較固定，對考生來說比較好掌握，但這部分考生考得差，可能很多學校沒有開這門課，或者開的話講得比較簡單，所以一些同學沒有達到考試的水平。其實這部分稍微花一點時間就可以掌握了。主要就是這幾塊內容一是樣本與抽樣分布，就是三大分布搞清楚，把他們的結構搞清楚，把統計上的分布搞清楚。

然后是參數估計、矩估計、最大似然估計、區間估計、三種估計方法，三個評價標準，無偏性、有效性、一致性，重點是無偏性的考查，因為它是期望的計算，其次是有效性。一致性一般不會考，考的可能性很小。這三種估計方法重點也是前面兩種，矩估計、最大似然估計，區間做了限制，考了很少，歷年考試的情況也就是代代公式。

最后一部分是假設檢驗這部分，這一部分我個人推測明年有可能考一個概念性的小題。一是了解U檢驗統計量、T檢驗統計量、卡方檢驗統計量，把這三個檢驗統計量的分布搞清楚。另外假設檢驗的思想和四個步驟了解一下就可以了。我想這部分考生少花一點時間，統計這個題是沒有問題的，重點就是參數估計，就是三種估計方法，三個評價標準，重點在那個地方。

3. 我概率這塊掌握的不夠扎實，復習很困難，我應該怎樣才能更好的復習概率這部分內容？

答：概率這門學科與別的學科是不太一樣的，首先我建議這位同學你可以看一下教育部考試中心一本雜志，專門出了一個針對研究生考試的書，這個里面請我寫了一篇文章，里面我舉很多例子，你看了之后有一個詳細復習方法。概率這門學科與概率統計、微積分是不一樣的，它要求對基本概念、基本性質的理解比較強，有個同學跟我說高等數學不存在把題看不懂的問題，但是概率統計的題尤其文字敘述的時候看不懂題，從這個意義上來說同學平常復習時候，只要針對每一個基本概念，要把它準確的理解，概念要理解準確，通過例子理解概念，通過實際物體理解概念。例如：比如我們一個盒子一共有十件產品，其中三件次品，七件正品，我們做一個實驗，每次只取一件產品，取之后不再放回去，現在我提兩個問題：一個是第三次取的次品是什么事件，這個事件就是積事件，第一次沒有取到次品，第二次沒有取到次品，第三次是取到次品，求這么一個事件的概率，但是換一個問題，我說你求前面兩次沒有取到次品情況下，第三次取到次品的概率，這個就不是積事件了，我第二個問題是知道了前面兩次沒有取到次品，這個信息已經知道了，然后問你第三次取到次品概率是多少，這是條件概率，這個信息已經知道了，另外一個事件發生的概率，這叫條件概率，這是容易混淆的。還有絕對概率，拿我們剛才舉的例子來講，如果我讓你求第三次取到次品是什么概率，那是絕對事件的概率，這和前面兩個又不一樣。我舉這個例子提醒考生復習時候把這些基本概念搞清楚了，把公式把握了，這個就比較容易了。跟微積分比較起來這里沒有什么公式，公式很少。所以我們把基本概念弄清楚以后，計算的技巧比微積分少得多，所以有同學跟我說，他說概率統計這門課程要么就考高分，要么考低分，考中間分數的人很少，這就說明了這種課程的特點。

4. 概率的公式非常難背，有什么好方法嗎？

答：背下來是基本的要求，概率的公式并不多，但是概率的公式和高等數學的公式相比，僅僅記住它是不夠的，比如給一個函數求導數，你會做，因為你知道是求導數，概率問題，比如全概率公式，考試的時候從來沒有哪一年是請你用全概率公式求求某概率，所以從分析問題的層面來說概率的要求高一點，但是從計算技巧來說概率的技巧低一些，所以我建議大家結合實際的例子和模型記它。比如二向概率公式，你可以這么記它，記一個模型，把一枚硬幣重復拋N次，正面沖上的概率是多少呢？這個公式哪一個符號在實際問題里面是什么東西，這樣才是在理解的基礎上記憶，當然就不容易忘記了。

5. 關于數理統計先階段復習應該抓哪些？

答：考試要注意，只有數學1和數學3的同學要考數理統計，按照以前考試數學1一般來說考三分之一分數的題，數學3是四分之一，但是僅僅是一個很例外的情況，2003年數學1考了16分的數理統計，但是今年沒有考這部分，今年考試這個地方的命題是有一點有失偏頗，我個人的看法為了避免這樣的情況，所以這個地方一定要看，一般要考8分左右的題是比較合適的，到底考什么，我可以把這個范圍縮的比較小，考這么幾種題型，第一個是求統計量的數字特征或者是統計量的分布，統計量大家知道就是樣本的函數，樣本就是X1X2-Xn，就是期望、方差、系方差，相關系數等等，求統計量的數字特征。第二個題型，統計量既然是隨機變量，當然可以求統計量的分布，2001年數學3是考了，2002年數學3考了，所以這個地方也是重要的題型。其次第三種題型是參數估計，你要會求。要考你背兩到三個區間估計的公式就可以了，所以為什么這個地方考的次數最多，每一種方法你都要會做。第四種題型就是對估計量的好壞進行評價，估計是無偏是有效的還是抑制的。2003年就考了一個大題。另外第五種題型就是假設間接這個地方，這么年以來只考過兩次，而且從99年以來練習五年這一章是沒有考，但是也正音連續五年沒有考，我個人估測2004年在這個上面考一個小題的可能是非常大的，我想同學們這部分花一點點時間看一看它，可能考一個小題，考一個什么題，就是把統計量寫出來，你會不會把分布寫出來，以填空的方式。另外一種考法，它的只對什么進行檢驗，對什么參數進行檢驗，你把統計參數寫出來。第三種方法，設計一個問題，把架設檢驗的十個步驟做出來，第一個步驟是提出架設，第二步寫出檢驗統計量。這個部分也不會出一個大題，應該是以小題的形式出現。

6. 會不會考極大自然估計量，我覺得那里面計算量比較大，一般不會考，不知道老師怎么感覺的？

答：對于數學一的考生或者數學三的考生來說，這個類型是考試的重點，每門課程重點有很多，不是每個重點都考，只要重點的地方考生不要投機取巧，比如參數估計，三種方法，那就是矩估計方法，極大似然估計方法，區間估計方法，這三種方法前兩者是重點。大家記幾個公式就可以了，2003年數學一考了區間估計的填空題。你對前面兩者要熟練掌握，前面兩種對整體沒有做限制，所以命題空間比較大。如果命題空間小考的可能性有很小。你四個步驟一定要掌握，剛才有網友說那個計算量太大，考試的題計算量不會太大。第一步一定要把函數會寫出來，數量函數有兩種：一個是總體是離散型的一個是連續型的，你都要會寫出來，離散型是指聯合分布率，連續型是聯合密度，因為這個聯合密度和聯合分布率都具有獨立性，都是等于邊緣密度的乘積，做任何一個，只要考這類型的題第一步少不了，你的問題屬于會把L似然函數寫出來，把L寫出來以后下面求L關于未知參數最大值點的問題，這是高等數學微積分里面最基本的問題，所以一般的話，我們先取對數，取對數以后令這個函數對未知參數的導數等于零，這個偏導數或者導數等于零的解就是可能的極值點。當然也可能出現這種情況，偏導數等于零的方程沒有解的情況，只考過一次，這個時候找未知參數的邊界點，取值范圍的定義域找到它，這個2000年考過一次，這個大家要注意，有解沒有解的都會做了你就不怕他考了。

7. 請老師講一下概率問題，概率重點應該放在哪里？怎樣更好的得分？

答：這個可以看作我們概率一個基礎，我不知道這個網友是考數學幾，隨機變量分布這是一大塊內容，基本每都年考一點，還有一個就是數理特征和數理統計基本考一個大題，概率和數理統計這部分如果從復習角度來看我們首先要理解概念，我認為這里面有三個典型途徑：第一古典概率，一個概率的公式的推算，第二個途徑就是利用我們的分布信息來求概率，我們涉及到一維的也可以是二維的，即可以是離散型的也可以是連續型的，都有求概率的方法，我們討論概率統計里的問題，比如分布函數問題，本身就是求概率，你只要知道求概率統計三個途徑，所以我討論分布函數，由分布函數可以討論概率分布函數，源頭是分布函數，分布函數基礎是求概率，通過這個角度把握我認為概率統計發現不是你想象的那么復雜了。這里面重點的是二兩者，第一種古典概率考的是排列組合，這個是初中內容，稍微難一點古典概率的題，同學沒有過多關心，不會從這個角度考的，而是根據我剛才的分析。所以把握這種思路以后，實際上概率統計知識應該把線性代數，特別比高等數學更好拿分。另外稍微應該注意一下概率統計里面隨機事件和隨機變量之間的轉換關系。我們可以通過隨機事件引進隨機變量，反過來也可以，所以大家復習時候。討論隨機事件之間關系問題也可以借用隨機變量之間關系分析，這是概率統計方面大家應該注意幾個比較典型的知識點。

8. 數學一概率和統計一般是怎樣的分值比例？重點分別是什么？

答：我們1997年實行新大綱以后，除了1997年沒有考，數學一從1998年到今年每一年都考到數理統計這塊內容，也可以更多的情況下通過大題形式考，這里頭大家復習時候應該稍微注意一下，數理統計它的公式特別多，但是本質上全部概括起來，三個動態總體的抽樣分布，當總體方向是未知的時候，我們這幾年考題表面上考數理統計的問題，有相當一部分考數理統計它在具體計算過程里頭的期望和方差的計算問題。所以經常把數理統計和我們數字特征結合起來考，這種情況我認為沒有必要過于區分數理統計占怎樣的分值比例，本身都是緊密相連的。

9. 數理統計中考試重點是什么？參數估計占多大比重？

答：參數估計這部分它占數理統計的一多半內容，參數估計這塊應該是最重要的。統計里面第一章就是關于樣本還有統計量分布這部分，這部分就是求統計量的數字特征，統計量是隨機變量。統計里面有什么題型？一個參數估計，一個求統計量數字特征或者求統計量的分布，統計量是隨機變量，任何隨機變量都有分布。自然會有這樣的題型。求統計量的數字特征，求統計量的分布，然后參數估計，然后估計的標準。統計這個內容對大家來說應該是比較好掌握的，題型比較少，你比較好把這個題做好。

10.數一中假設檢驗怎么考？參數估計中區間估計的公式是否都要記住？也就是統計量及其分布這些公式很復雜如何更好記憶，歷年考試出現的好象不是特別多，今年是否會有變化？

答：區間估計不是考試重點，屬于最低層次的，你只要知道兩到三個區間公式就可以了，以前只考過前面兩個，你多記一個留有一些余地，這個地方要求比較低，復雜的公式你不一定非得記住。