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《高等代數》復習參考提綱

一、總體要求

高等代數是數學各專業的一門重要基礎理論課。要求學生掌握高等代數的基本概念，基本理論，基本方法和基本技巧;熟練掌握矩陣和線性變換的關系，學會線性方程組，矩陣，線性變換問題的相互轉化;理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關系。并善于應用這些理論和方法,具有較強的分析問題與解決問題的能力。

二、課程考試內容

(一)多項式

數域，整除的概念與性質，最大公因式，因式分解，重因式，多項式函數，有理系數多項式，多元多項式，對稱多項式。

(二)行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質，行列式的計算，行列式按一行(列)展開，拉普拉斯(Lap lace)定理，克蘭姆法則。

(三) 線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運算;向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念;向量組的線性相關性的判定;兩個向量組的等價;向量組的極大無關組、秩的概念及性質;向量組的秩與矩陣的秩的關系。線性方程組解的結構。

(四) 矩陣

矩陣的概念， 矩陣的運算， 矩陣乘積的行列式與秩， 矩陣的逆， 矩陣的分塊， 初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標準形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

(六)線性空間

線性空間的概念與性質，維數，基，坐標，基變換，坐標變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構。

(七)線性變換

線性變換的概念與性質，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標準形，最小多項式。

(八)λ-矩陣

λ-矩陣的標準形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標準形。

(九)歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質，標準正交基，歐幾里得空間的子空間與同構，正交變換與對稱變換，Schimidt正交化方法，實對稱矩陣的標準形，最小二乘法，酉空間。

(十)雙線性函數

線性函數，對偶空間，雙線性函數。

三、考試形式與試題結構

1、試卷分值：150分

2、考試時間：180分鐘

3、考試形式：閉卷

4、題型結構：選擇與填空題，計算題，證明題。

四、推薦參考書目

1、北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》(第三版)，北京，高等教育出版社。

2、張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》(第四版)，北京，高等教育出版社。

3、馬建榮，劉三陽，《線性代數選講》，北京，電子工業出版社。

4、李師正等，《高等代數解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社。