2019考研數學：線性代數基礎階段復習指導

考研數學來源：萬學海文 2018-01-16　

2018考研終于拉下帷幕，從今年的命題來看，命題角度新穎，綜合性提高，難度上升，很多18的考生反應今年線性代數考難了。所以今年的考題特點和命題趨勢會給將要考研的2019的考生以啟示。在線性代數的學習上，同學們經常走兩個極端，一部分同學感覺線性代數是比較好掌握的，也有一部分同學感覺這部分難度比較大。這跟線性代數的科目特點有關。線性代數課程的特點是系統，前后知識的聯系非常緊密，概念性很強，對于抽象性與邏輯性有較高的要求，題型比較固定。那基礎階段應如何復習呢?在基礎階段學習資料我認為只需準備教材和一本帶考綱的基礎教程，線代教材推薦同濟五版《線性代數》或清華大學的，基礎教程推薦海文考研的教程或講義，在接觸輔導書之前最好先好好學一遍教材，對內容大致有個了解，必須結合考綱，這樣才有針對性。但僅看教材，備考數學還是不夠的，所以還必須認真學習專門針對考研的基礎教程，基礎教程的內容一般包括知識點(和教材相比更有針對性，帶總結性)，典型例題(和教材相比更貼近考研，綜合性更強)和鞏固習題。以下從三方面講一講基礎階段如何復習好線性代數。

一、掌握基本概念，建立知識框架。

1掌握基本概念

在線代中，定義特別重要，定義往往是掌握原理的出發點的，例如線性相關無關，矩陣的關系中等價，相似，合同等。把這些說法用數學語言嚴格的表示出來就是定義，然后再分析相互之間有什么聯系。考研數學中會出現一些考查說法的選擇題，這類題就是專撿那些易混淆部分來考的，命題人可謂是挖空心思，無孔不入，大家可以翻翻歷年真題看看就明白了。

線性代數的概念很多，重要的概念有：代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。

2弄清聯系和區別

線性代數內容前后聯系緊密，相互滲透，各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，因此解題方法靈活多變。記住知識點不是難事，但要把握好知識點的相互聯系，非得下一番功夫不可。首先要把握定理和公式成立的條件，一定要注意同時把某一知識點對應的適用條件掌握好!對知識點的掌握最好要掌握原理，而不僅僅是強記，個人覺得這兩者是結合起來的吧，能掌握原理的就掌握原理，如果實在不能在短時間內掌握再強記。對于知識點涉及的定理等最好是自己給出證明，例如秩的相關結論的證明，這些證明往往非常簡單，幾行字就能解決問題，但對加深知識概念理解和基本方法運用非常有用。

再者要弄清知識點之間的縱橫聯系，這和高數的學習方法有很大不同，例如：等價、相似、合同之間相互有無關系?比如等價是否一定相似，相似是否一定合同，反過來呢?這些一定要搞清楚，不能一知半解。再如向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯系;向量的線性相關(無關)與齊次線性方程組有非零解(僅有零解)的討論之間的聯系;實對稱陣的對角化與實二次型化標準形之間的聯系等。另外還有容易混淆的地方，如矩陣的等價和向量組的等價之間的關系，線性相關與線性表示等。掌握它們之間的聯系與區別，對大家做線性代數部分的大題也有很大的幫助。

強烈建議大家在復習過程中自己多總結，既要記得知識點，又要注意把某一知識點對應的適用條件也掌握好，還要把握知識點之間的聯系和區別。只有同時把這幾方面把握住了，概念這一塊才算過關，才算打好了基礎。

3建立知識框架

基礎階段線代要大概圍繞以下內容建立知識框架，即線性方程組，向量，秩，矩陣運算。建立知識框架，類似于圍棋中的布局，要想下好棋，大局觀非常重要，這在線性代數尤其重要。

線性代數的學習切入點：線性方程組，線代貫穿的主線就是求方程組的解，換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科，不管是向量的線性相關，線性表示，還是求特征向量，都是圍繞線性方程組。關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問題;(2)方程組如何求解，有多少個解;(3)方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。

線性方程組求解主要是高斯消元法，在利用求解的過程中涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數和常數項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序數組的數量乘法和加法運算，即向量。例如大家可以通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關(零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等)。也可以從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關和線性無關的本質。這部分內容概念多，定理性質也多，光憑記憶是很難掌握的。

秩是一個非常深刻而重要的概念，就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，有了秩的概念以后，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組有解的充分必要條件：若系數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。秩的靈活運用，充分體現了線性代數中推理和抽象性強的特點，同學們在做題時要好好體會，因此有必要進一步好好研究向量組的秩的計算方法。

在研究線性方程組的解的過程當中，同學們注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應用，故還有必要對矩陣及其運算進行專門研究，建立這方面的知識框架。

4做題鞏固

初步掌握知識點以后要做什么?自然是用于解題了，做題一定要建立在完成知識點的總結的基礎上，不能光傻傻的看書，這樣你會一直沒有進步，一定要拿起筆，書上寫得再好也還是編者老師的東西，只有自己總結的才是自己的。一定要完成指定習題，最好把鞏固習題也完成，做題會鞏固知識點，發現自己存在的問題，逐步提高自己的解題能力。最好將自己的總結筆記分成兩類，一類是知識點筆記，一類是題型思路歸納(題型研究是強化階段課程的主要內容，但現在，同學們自己應慢慢學會歸納)，這樣一來反饋學習效果更明顯，思路更清晰。一定要加強訓練，做題鞏固，并注重邏輯性與敘述表述。

二、熟練基本運算，提高運算能力。

線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的運算有：行列式(數字型、抽象型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。

這里所說的運算能力包括速度和準確率兩個方面，同學們經常有這樣的體會，一張數學卷子發下來，題目都會做，都有思路，但是一做起來就漏洞百出，總有地方出錯，結果時間自然不夠。歸根結底就是因為自己平時從來不練，看到一道題，先想思路，如果方法上沒有什么障礙的話就認為不會有問題了，其實事實上如果真的動手去做很可能發現并非想象那么簡單。我的建議是：書后習題不用全做，只做老師計劃中指定的題即可。其實線代的運算方式只有行列式、初等變換和矩陣的乘法這三種基本計算，一定要練到熟得不能再熟，基本不出錯的地步。運算速度到后期顯得比較重要，因為沖刺階段都是要整張卷子的做，這時不僅要分配好各部分題目的時間，而且要確保能在預計的時間里完成相應的任務，否則會對個人的情緒產生影響。線代兩道大題，閱卷時發現，很少有不會動筆的，但得滿分的卻不多。

三綜合分析思維，方法靈活多變。

由于考研數學的知識點涉及面很廣，而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的，那很自然會在綜合要求上有所提高，大家經常發現線代的一道題可以覆蓋幾乎六章的內容，而且可以用不同的方法解答。

學好線代最關鍵要點在于"見一反三"，即面對同一個數學事實，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個角度來表述和理解它，以便于根據解決問題的需要選擇合適的切入點。所以在基礎階段后期大家可以在老師的指導下有意識地訓練自己的綜合分析思維，并逐步選做一些綜合性的習題，這樣大家就會逐步掌握做題的思路、方法、技巧。

相信大家通過以上階段的復習，并不斷地歸納總結，初步搞清知識點的內在聯系，就能逐步使所學知識融會貫通，這就為強化階段的進一步學習打下了堅實的基礎。