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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《數學分析》考試大綱

本《數學分析》考試大綱適用于中國科學院大學數學和系統科學等學科各專業碩士研究生入學考試。數學分析是一門具有公共性質的重要的數學基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學、級數、多元微分學和積分學等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，熟練掌握各種運算和基本的計算、論證技巧，具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。

一、考試基本要求

要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時間

數學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

三、考試內容和考試要求

(一)考試內容

1. 分析基礎

(1) 實數概念、確界

(2) 函數概念

(3) 序列極限與函數極限

(4) 無窮大與無窮小

(5) 上極限與下極限

(6) 連續概念及基本性質，一致連續性

(7)收斂原理

2. 一元微分學

(1) 導數概念及幾何意義

(2) 求導公式求導法則

(3) 高階導數

(4) 微分

(5) 微分中值定理

(6) L’Hospital法則

(7) Taylor公式

(8) 應用導數研究函數

3. 一元積分學

(1) 不定積分法與可積函數類

(2) 定積分的概念、性質與計算

(3) 定積分的應用

(4) 廣義積分

4. 級數

(1) 數項級數的斂散判別與性質

(2) 函數項級數與一致收斂性

(3) 冪級數

(4) Fourier級數

5. 多元微分學

(1) 歐氏空間

(2) 多元函數的極限

(3) 多元連續函數

(4) 偏導數與微分

(5) 隱函數定理

(6) Taylor公式

(7) 多元微分學的幾何應用

(8) 多元函數的極值

6. 多元積分學

(1) 重積分的概念與性質

(2)重積分的計算

(3)二重、三重廣義積分

(4)含參變量的正常積分和廣義積分

(5)曲線積分與Green公式

(6)曲面積分

(7)Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無關

(8)場論初步

(二)考試要求

1.分析基礎

(1) 了解實數公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對值不等式及平均值不等式。

(2) 熟練掌握函數概念(如定義域、值域、反函數等)。

(3) 掌握序列極限的意義、性質(特別，單調序列的極限存在性定理)和運算法則，熟練掌握求序列極限的

方法。

 

(4) 掌握函數極限的意義、性質和運算法則(自變量趨于有限數和趨于無限兩種情形)，熟練掌握求函數極限的

方法，了解廣義極限和單側極限的意義。

 

(5) 熟練掌握求序列極限和函數極限的常用方法(如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等)，掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應用Stolz公式求序列極限的方法。

(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高(低)階無窮大(小)量的意義。

(7) 了解上極限和下極限的意義和性質。

(8) 熟練掌握函數在一點及在一個區間上連續的概念，理解函數兩類間斷點的意義，掌握初等函數的連續性，理解區間套定理和介值定理。理解一致連續和不一致連續的概念。

(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數極限(當自變量趨于有限數及趨于無窮兩種情形)存在的充分必要條件。

2.一元微分學

(1) 掌握導數的概念和幾何意義，了解單側導數的意義，解依據定義求函 數在給定點的導數。

(2) 解應用求導公式和法則熟練計算函數導數(包括用參數式給出的函數的導數)、隱函數的導數以及函數的高階導數。

(3) 理解函數微分的概念和函數可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能利用微分作近似計算。

(4) 理解并掌握微分中值定理(Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理)，并能應用它們解決函數零點存在性及不等式證明等問題。

(5) 熟練掌握應用L’Hospital法則求函數極限的方法。

(6) 理解Taylor公式(Lagrange余項和Peano余項)的意義，并熟記五個基本公式(

在x=0點的帶有Peano余項的Taylor公式)，能將給定函數在指定點展成Taylor級數，掌握應用Taylor公式解決不等式證明、求函數極限等問題的基本技巧。

 

(7) 熟練掌握應用導數判斷函數升降、凹凸性以及畫出函數圖像的方法，以及求一元函數極值和最值的方法。

3.一元積分學

(1) 理解不定積分概念和基本性質，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，解應用他們熟練計算不復雜的不定積分。

(2) 了解可積分函數類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數、三角函數有理式及簡單的根式的有理式的積分方法。

(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質及函數在有限區間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性質，掌握積分中值定理。

(4) 熟練應用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉曲面表面積，并解應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學問題。

(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。

4.級數

(1) 掌握數項級數收斂、發散和絕對收斂的概念、級數收斂的充分必要條件(Cauchy準則)，收斂和絕對收斂級數的性質以及級數加法和乘法的運算法則。

(2) 熟練掌握正項級數斂散判別法(比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法)，掌握一般項級數斂散判別方法。能計算一些特殊數項級數的和。

(3) 理解函數項級數收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數序列一致收斂以及函數項級數一致收斂的意義，掌握函數項級數一致收斂的判別法則(Cauchy一致收斂準則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法)及一致收斂級數的性質。

(4) 理解冪級數的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數的基本性質和運算法則，熟記五個基本冪級數展開式(

)。能求出給定函數在指定點的冪級數展開式及應用冪級數運算求一些級數的和。

 

(5) 理解函數Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級數的收斂性定理、逐項積分和逐項求導定理以及Parseval等式，并能應用Fourier級數求某些級數的和(例如

)。

 

5.多元微分學

(1) 理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內積與模、開集與閉集、開區域與閉區域的意義，了解完備性定理及緊性定理。

(2) 理解多元函數的概念。掌握多元函數的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據定義計算多元函數極限，或證明二元極限不存在，能計算多元函數的全面極限和累次極限。

(3) 理解多元連續函數的概念，掌握其性質，并能判斷多元函數的連續性。了解多元函數的一致連續性。

(4) 理解偏導數的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數的偏導數和復合函數的導函數，能計算函數在給定方向上的導函數。

(5) 理解多元函數的微分的概念，并能判斷函數的可微性。

(6) 理解隱函數存在定理和反函數存在定理，熟練掌握隱函數的微分法。

(7) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數的具有指定階數的Taylor公式。

(8) 能應用偏導數求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。

(9) 理解多元函數的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數極值、條件極值及在閉區域上的最值的方法，并用于解決實際問題。

6.多元積分學

(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質。

(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法(特別，平面極坐標變換，空間柱坐標和球坐標變換)，能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重(n>3)積分的計算方法(化為累次積分及變量代換)。

(3) 了解二重、三重廣義積分的意義(無界域情形和不連續函數情形)，掌握它們的基本判斂法和基本計算方法。

(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(連續性，積分號下取極限、求導和求積分)，了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(連續性，積分號下取極限、求導及求積分)，掌握其一致收斂判別法，了解和

函數。

 

(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，能熟練計算曲線積分。

(6) 理解并掌握Green公式的意義，并能應用它計算曲線積分。

(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，能熟練計算曲面積分。

(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件及其對曲線積分計算的應用。

(9) 了解場的概念和保守場的意義，能計算場的梯度、散度和旋度。

四、參考書目

現行(公開發行)綜合性大學(師范大學)數學系用數學分析教程。