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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《數學與物理綜合》考試大綱

本《數學與物理綜合》考試大綱適用于中國科學院大學碩士研究生入學考試。數理綜合對應的是大學本科微積分、線性代數、普通物理等數理基礎課程。要求考生能準確理解基本概念，熟練掌握各種運算和基本的計算、論證技巧，具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。

一、考試基本要求

要求考生比較系統地理解微積分、線性代數、普通物理的基本概念和基本理論，掌握相應的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時間

數理綜合考試采用閉卷筆試形式，滿分為150分，考試時間為180分鐘。

三、數學部分考試內容

(一)微積分部分

1、實數集與函數

(1)實數

(2)數集•確界原理

(3)函數概念

(4)具有某些特性的函數

2、數列極限

(1)數列極限概念

(2)收斂數列的性質

(3)數列極限存在的條件

3、函數極限

(1)函數極限概念

(2)函數極限的性質

(3)函數極限存在的條件

(4)兩個重要的極限

(5)無窮小量與無窮大量

4、函數的連續性

(1)連續性概念

(2)連續函數的性質

(3)初等函數的連續性

5、導數和微分

(1)導數的概念

(2)求導法則

(3)參變量函數的導數

(4)高階導數

(5)微分

6、微分中值定理及其應用

(1)拉格朗日定理和函數的單調性

(2)柯西中值定理和不定式極限

(3)泰勒公式

(4)函數的極值與最大(小)值

(5)函數的凸性與拐點

(6)函數圖像的討論

(7)方程的近似解

7、實數的完備性

(1)關于實數集完備性的基本定理

(2)上極限和下極限

8、不定積分

(1)不定積分概念與基本積分公式

(2)換元積分法與分部積分法

(3)有理函數和可化為有理函數的不定積分

9、定積分

(1)定積分概念

(2)牛頓—萊布尼茨公式

(3)可積條件

(4)定積分的性質

(5)微積分學基本定理•定積分計算(續)

(6)可積性理論補敘

10、定積分的應用

(1)平面圖形的面積

(2)由平行截面面積求體積

(3)平面曲線的弧長與曲率

(4)旋轉曲面的面積

(5)定積分在物理中的某些應用

(6)定積分的近似計算

11、反常積分

(1)反常積分概念

(2)無窮積分的性質與收斂判別

(3)瑕積分的性質與收斂判別

12、數項級數

(1)級數的收斂性

(2)正項級數

(3)一般項級數

13、函數列與函數項級數

(1)一致收斂性

(2)一致收斂函數列與函數項級數的性質

14、冪級數

(1)冪級數

(2)函數的冪級數展開

(3)復變量的指數函數•歐拉公式

15、傅里葉級數

(1)傅里葉級數

(2)以2π為周期的函數的展開式

(3)收斂定理的證明

16、多元函數的極限與連續

(1)平面點集與多元函數

(2)二元函數的極限

(3)二元函數的連續性

17、多元函數微分學

(1)可微性

(2)復合函數微分法

(3)方向導數與梯度

(4)泰勒公式與極值問題

18、隱函數定理及其應用

(1)隱函數

(2)隱函數組

(3)幾何應用

(4)條件極值

19、含參量積分

(1)含參量正常積分

(2)含參量反常積分

(3)歐拉積分

20、曲線積分

(1)第一型曲線積分

(2)第二型曲線積分

21、重積分

(1)二重積分的概念

(2)直角坐標系下二重積分的計算

(3)格林公式·曲線積分與路線的無關性

(4)二重積分的變量變換

(5)三重積分

(6)重積分的應用

(7)n重積分

(8)反常二重積分

(9)在一般條件下重積分變量變換公式的證明

22、曲面積分

(1)第一型曲面積分

(2)第二型曲面積分

(3)高斯公式與斯托克斯公式

(4)場論初步

23、向量函數微分學

(1)n維歐氏空間與向量函數

(2)向量函數的微分

(3)反函數定理和隱函數定理

(二)線性代數部分

1、代數的起源

(1)簡談代數，線性方程初步

(2)低階行列式

(3)集合與映射

(4)等價關系與商映射

(5)置換

(6)整除

2、矩陣

(1)行和列的向量空間

(2)矩陣的秩

(3)線性映射，矩陣的乘法

3、行列式

(1)行列式、構造和基本性質

(2)行列式進一步性質

(3)行列式的應用

(4)行列式的公理化構造

4、群、環、域

(1)具有代數運算的集合

(2)群

(3)環和域

5、多項式

(1)多項式環

(2)多項式環中的因式分解

(3)多項式的根

(4)對稱多項式

6、空間與形式

(1)抽象向量空間、維數與基底

(2)對偶空間

(3)雙線性型和二次型

7、線性算子

(1)向量空間的線性映射、算子代數

(2)不變子空間與特征向量

(3)若爾當標準型

8、帶有純量乘積的向量空間

(1)歐幾里得向量空間

(2)埃爾米特向量空間

(3)帶有純量乘積的空間上的線性算子

(4)復化與實化

(5)正交多項式

9、仿射空間與歐幾里得空

(1)仿射空間、歐幾里得空間

(2)群與幾何

(3)帶有指數有限度量的空間

10、二次曲面

(1)二次函數

(2)仿射空間與歐幾里得空間中的二次曲面

(3)射影空間及其中的二次曲面

11、張量

(1)張量計算初步

(2)張量的卷積，對稱化與交錯化

(3)外代數

(三)參考書目

1、華東師范大學數學系,《數學分析》(第四版), 高等教育出版社, 2010。

2、柯斯特利金，《代數學引論》第1卷(第2版),第2卷(第3版)，高等教育出版社。

3、B.A.卓里奇著，蔣鐸、王昆揚、周美珂、鄺榮雨譯，《數學分析》，高等教育出版社。

四、物理部分考試內容

大學《普通物理》課程的基本內容，包含力學、熱學、光學、電磁學和原子物理學等。

(一)力學

1、質點運動學

(1)空間和時間

(2)矢徑

(3)參考系

(4)運動方程

(5)瞬時速度

(6)瞬時加速度

(7)切向加速度

(8)法向加速度

(9)圓周運動

(10)運動的相對性

2、質點動力學

(1)慣性參照系及力學相對性原理

(2)牛頓運動定律

(3)功

(4)功率

(5)質點的動能

(6)動能定理

(7)彈性勢能

(8)重力勢能

(9)保守力

(10)慣性力

(11)功能原理

(12)機械能守恒與轉化定律

(13)動量、沖量、動量定理

(14)動量守恒定律

3、剛體的轉動

(1)角速度矢量

(2)質心

(3)轉動慣量

(4)有心力場中的質點運動

(5)轉動動能

(6)轉動定律

(7)力矩

(8)力矩的功

(9)轉動動能定律

(10)剛體平面平行運動

(11)剛體的平衡

(12)角動量和沖量矩

(13)角動量定理

(14)角動量守恒定律

(15)對稱性和守恒律

4、流體

(1)流體靜力學

(2)流體動力學

(3)理想流體的定常流動

(4)黏性流體的流動

5、簡諧振動和波

(1)運動學描述

(2)動力學分析

(3)振動方程

(4)旋轉矢量表示法

(5)諧振動的能量

(6)諧振動的合成

(7)波的產生與傳播

(8)面簡諧波波動方程

(9)波的能量、能流密度

(10)波的疊加與干涉

(11)駐波

(12)多普勒效應

(13)真空中的電磁波

6、狹義相對論

(1)伽利略變換

(2)經典力學的時空觀

(3)狹義相對論的相對性原理

(4)光速不變原理

(5)洛侖茲變換

(6)同時性的相對性

(7)狹義相對論的時空觀

(8)狹義相對論的動力學

(9)相對論的質能守恒定律

(二)熱學

1、平衡態與狀態方程

(1)狀態參量與平衡態

(2)溫度

(3)熱力學第零定律

(4)溫標

(5)狀態方程

(6)物質的微觀結構

(7)理想氣體的微觀模型

(8)溫度的統計意義和微觀解釋

(9)理想氣體的傳熱過程

2、平衡態系統的統計規律

(1)隨機運動的統計規律

(2)布朗運動

(3)麥克斯韋速度、速率分布

(4)近獨立子系統的最概然分布

(5)等概率原理

(6)麥克斯韋——玻爾茲曼分布

(7)分子的自由度

(8)能量均分定理

(9)氣體的內能與熱容

(10)量子氣體

3、近平衡態中的輸運過程

(1)有效碰撞界面與碰撞速度;

(2)平均碰撞頻率與平均自由程;

(3)氣體分子的自由程分布;

(4)粘滯現象、擴散現象、熱量傳遞的宏觀規律;

(5)氣體中輸運現象的微觀解釋。

4、熱力學第一定律

(1)力學、熱學作用下的能量轉移

(2)內能

(3)熱力學第一定律

(4)準靜態過程

(5)熱容

(6)焓

(7)循環過程

(8)卡諾循環及效率

(9)第一定律的狀態函數表示

(10)第一定律的微觀解釋

5、熱力學第二定律

(1)熱力學第二定律

(2)卡諾定律

(3)熵的概念

(4)熵的計算

(5)熵增加原理

(6)玻爾茲曼熵

(7)熱力學第二定律的統計意義

(8)自由能、自由焓

(9)熱力學方程

(10)熱力學溫標

(11)熵的標準參考點

(12)熱力學第三定律

6、液體

(1)液體的徹體性質

(2)徑向函數分析法

(3)表面張力與表面能

(4)拉普拉斯公式

(5)表面接觸角

(6)毛細現象

7、單元系統的復相平衡與相變

(1)相

(2)相變

(3)相平衡

(4)克拉伯龍方程

(5)汽液相變

(6)范德瓦耳斯等溫線

(7)亞穩態

(三)光學

1、光在各向同性介質界面上的反射和折射

(1)費馬原理

(2)菲涅耳反射、折射公式

(3)反射率和透射率

(4)相位關系和半波損

(5)反射、折射時的偏振

2、光的干涉

(1)光波的疊加和干涉

(2)分波前干涉和分振幅干涉

(3)等傾干涉和等厚干涉

(4)邁克耳孫干涉儀和馬赫——曾德爾干涉儀

(5)多光束干涉

3、光的衍射

(1)惠更斯——菲涅耳原理

(2)菲涅耳衍射

(3)夫瑯禾費單縫衍射、多縫衍射和光柵

(4)全息術原理

(5)傅里葉光學

4、光的偏振和光在晶體中的傳播

(1)光的橫波性和光的五種偏振態

(2)起偏振器與檢偏振器

(3)雙折射現象和偏振棱鏡

(4)偏振光的干涉

(5)旋光性

5、光的吸收、色散和散射

(1)光的吸收

(2)光的色散

(3)波包與群速

6、光的量子性

(1)經典及普朗克黑體輻射理論

(2)光電效應

(3)光量子

(四)電磁學

1、靜電場

(1)庫侖定律

(2)電場

(3)電場強度

(4)場強疊加原理

(5)靜電場的高斯定理

(6)靜電場的環路定理及電勢

(7)帶電體系的靜電能

2、靜電場中的導體和電介質

(1)靜電場中的導體

(2)電容和電容器

(3)電介質的極化

(4)有介質時的靜電場

(5)電場的能量和能量密度

3、恒定電流

(1)電流的連續性方程

(2)恒定條件

(3)歐姆定律

(4)電源和電動勢

4、恒定磁場

(1)磁的基本現象和基本規律

(2)畢奧——薩伐爾定律

(3)磁場的“高斯定理”和“安培環路定律”

(4)安培定律;洛倫茲力

5、磁介質

(1)磁性的來源

(2)順磁質

(3)抗磁質

(4)介質的磁化規律

(5)有磁介質存在時的磁場

(6)鐵磁質

(9)磁場的邊界條件和磁路定理

6、電磁感應

(1)電磁感應定律

(2)動生電動勢

(3)感生電動勢

(4)渦旋電場

(5)自感與互感

(6)暫態過程

7、麥克斯韋電磁場理論

(1)麥克斯韋電磁場方程組

(2)電磁波

(3)赫茲實驗

(4)電磁場的能流密度

(五)原子物理

1、原子的核式模型

(1)原子的發現

(2)電子和原子核的發現

(3)盧瑟福模型和盧瑟福散射

(4)原子行星模型的意義和困難

2、波爾的氫原子理論

(1)氫原子光譜

(2)夫蘭克——赫茲實驗

(3)波爾的氫原子理論

(4)波爾理論的成功和局限

3、量子力學初步

(1)能量的量子化

(2)光子

(3)光電效應

(4)物質波

(5)波粒二相性

(6)薛定諤方程

(7)幾率波

(8)海森堡不確定原理

(9)氫原子光譜的量子力學解釋

4、原子中電子的自旋

(1)電子軌道運動的磁矩

(2)史特恩——蓋拉赫實驗

(3)電子的自旋假設

(4)原子光譜的精細結構：堿金屬雙線

(5)塞曼效應

(6)斯塔克效應

5、多電子原子

(1)氦原子的光譜和能級

(2)兩個電子的耦合

(3)泡利不相容原理

(4)元素周期表

6、X射線和激光

(1)X射線的原子起源

(2)康普頓散射

(3)原子的激發和退激：熒光和激光的產生機制

7、原子核物理初步

(1)原子核的輻射

(2)輻射探測

(3)原子核的結構

(4)核反應：裂變與聚變

(5)原子核物理應用

8、基本粒子物理簡介

(1)強子與輕子

(2)介子與重子

(3)夸克

(4)四種基本相互作用

(5)物質與反物質

(6)粒子加速器與探測器

(六)參考書目

重點大學理科類普通物理教材。