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長春理工大學數學研究生入學加試

《復變函數》考試大綱

一、總體要求

考生應按本大綱的要求，掌握復變函數的積分理論，級數理論，留數理論，保形映射和解析函數的理論，并了解調和函數的概念。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系;應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《復變函數(第五版)》，余家榮，高等教育出版社

三、考試內容

(一)復數及復平面

(1)理解復數的定義，熟練掌握復數的代數表達，四則運算及共軛的求法; 熟練掌握復數與平面上點一一對應關系，復平面在幾何中的應用，復平面與平面向量的關系;熟練掌握復數的模，輻角，三角表達式的定義和求法;掌握復數的球面表示，復球面及無窮大。

(2) 理解內點、外點、邊界點、聚點、圓盤、連通性、開集、閉集等概念，曲線、區域的概念，理解Jordan曲線定理。

(二)復變函數

(1)深入理解復變函數的定義，掌握復變函數的極限、連續與其實、虛部這一對二元函數的極限連續性的等價性;理解并掌握解析函數的概念;熟練掌握Cauchy—Riemann條件，能夠用這個條件判定函數的解析性。

(2) 理解多值函數的概念、分支、分支點的概念，熟練掌握基本初等函數：指數函數，輻角函數，對數函數，冪函數，三角函數的定義、性質。

(三)復變函數的積分

(1) 掌握積分的定義、性質，會將光滑曲線上的連續函數的積分化成定積分計算;深入理解和熟練掌握Cauchy定理，理解Cauchy定理的證明;掌握Cauchy定理的推廣，會用Cauchy定理計算積分。

(2) 熟練掌握Cauchy公式，能熟練使用Cauchy公式計算積分;掌握解析函數的無窮可微性，Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理，會使用這些性質和理論解決一些具體的問題。

(四)級數

(1)掌握復數項級數的定義及其收斂條件，函數項級數的一致收斂性定義與判定法，內閉一致收斂的定義，判定法和性質;掌握冪級數的收斂的定義，判定法，和函數的性質。

(2) 掌握函數能展開成Taylor展式的理論依據和方法，能熟練地將解析函數展開成冪級數;掌握解析函數冪級數展式的唯一性;深入理解并掌握零點的概念，掌握零點的孤立性;掌握解析函數的唯一性定理。

(3) 理解和掌握解析函數的Laurent展式的概念;掌握解析函數的Laurent展式的唯一性;能熟練地將解析函數展開成Laurent展式;理解和掌握解析函數三類孤立奇點的定義，判定方法;掌握解析函數在無窮遠點性質;理解整函數和亞純函數的定義，掌握整函數和亞純函數的簡單應用。

(五) 留數

(1)掌握留數定理，能熟練計算函數的留數。

(2) 熟練掌握利用留數求積分的方法;掌握亞純函數在一定區域內零點與極點個數的關系，理解Rouche定理，會用Rouche定理確定某些方程在一定區域內根的個數。

(六)保形映射

(1)深入理解和掌握單葉解析函數的概念;熟練掌握單葉解析函數各個性質，并能利用這些性質解決一些具體問題;掌握保形映射的概念;掌握單葉解析函數的幾何意義。

(2)理解和掌握分式線性函數的定義;熟練掌握分式線性函數的幾條映射性質，理解并熟練掌握兩個特殊的分式線性函數。

(3)掌握最大模原理，Schwatz引理;理解Riemann映射定理，邊界對應原理;熟練掌握將某些區域保形映射成所要求的區域的方法。

(七) 解析函數

(1) 理解和掌握對稱原理及其推廣的形式，會應用對稱原理和推廣的對稱原理; 掌握用冪級數進行解析開拓的方法;了解一般解析函數，Riemann面的概念和實例;了解沿曲線的解析開拓問題。

(2) 掌握多角形映射基本公式，會用多角形映射基本公式解決具體的問題。

(八)調和函數

(1)理解和掌握調和函數的概念; 掌握調和函數的中值定理和中值公式，Poisson公式，以及調和函數的極值原理。