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華僑大學碩士研究生招生考試初試自命題科目考試大綱

招生學院：數學科學學院 招生專業：數學

科目名稱：高等代數

一、考試形式與試卷結構

(一)試卷滿分值及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成;答案必須寫在答題紙(由考點提供)相應的位置上。

(三)試卷內容結構

考試內容主要包括矩陣理論，包含行列式、矩陣的相抵、相似、合同分類(30%);線性方程組(10%);線性空間(15%);線性映射(25%);多項式(20%)。

(四)試卷題型結構

1.計算題(60分)，共4-6道;

2.證明題(90分)，共5-7道。

二、考查目標

課程考試的目的在于測試考生對于《高等代數》的基本概念、基本知識、基礎方法的掌握情況以及綜合運用(線性)代數技巧研究代數對象的結構和表示的能力。

三、考查范圍或考試內容概要

第一部分 矩陣理論

1. 矩陣的行列式

行列式的定義與計算;拉普拉斯(Laplace)定理;范德蒙德行列式

2. 矩陣的運算

矩陣的乘法的基本性質，包括乘法與跡、轉置、行列式的關系;可逆矩陣的性質與計算

3. 矩陣的相抵分類

初等變換;矩陣秩的定義及性質;矩陣相抵的充要條件

4. 矩陣的相似分類

矩陣的特征值與特征向量;相似的不變量(包含行列式因子、不變因子、初等因子組);特征多項式與極小多項式;矩陣可對角化;正交矩陣與正交相似;斯密特(Schmidt)正交化過程;計算復矩陣的約當(Jordan)標準形

5. 矩陣的合同分類

二次型的標準形和規范形;實二次型的慣性定理;正定矩陣

第二部分 線性方程組

1. 向量組

(列)向量的線性關系;向量組的極大線性無關組與秩

2. 線性方程組

高斯(Gauss)消元法;線性方程組解的結構;克萊姆(Gram)法則

第三部分 線性空間

1. 一般線性空間

線性空間的公理定義;線性空間的基與維數;線性空間的同構;子空間的維數定理;子空間的直和

2. 具有幾何結構的線性空間

歐式空間;柯西(Cauchy)不等式;斯密特(Schmidt)正交化與標準正交基

第四部分 線性映射

1. 線性映射與矩陣的關系

線性映射的基本性質;線性映射在不同基下的(表示)矩陣;雙線性映射的度量矩陣

2. 線性映射的結構

線性映射的維數定理;線性變換的不變子空間

3. 線性映射與矩陣相似分類的進一步聯系

Jordan 標準形對應的不變子空間分解(根子空間分解和循環子空間分解);Jordan-Chevalley分解定理

第五部分 多項式

1. 多項式的基本性質

多項式的度;帶余除法;最大公因式;互素

2. 多項式的結構

唯一分解定理;重因式與重根;多項式函數

3. 不可約多項式

代數基本定理;實數域上的不可約多項式;本原多項式的唯一分解定理;艾森斯坦(Eisenstein)判別法;整系數多項式的有理根

四、參考教材或主要參考書：

《高等代數》，林亞南 編著，高等教育出版社，2013年.