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812《高等代數》考試大綱

一、大綱綜述

高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的重要基礎課程。為幫助考生明確考試范圍和有關要求，特制訂本考試大綱。

本考試大綱主要根據北京林業大學數學與應用數學本科《高等代數》教學大綱編制而成，適用于報考北京林業大學數學學科各專業(基礎數學、概率論與數理統計、計算數學、應用數學)碩士學位研究生的考生。

二、考試內容

1、多項式

(1)多項式及其運算

(2)整除性理論

(3)最大公因式

(4)因式分解定理

(5)重因式

(6)復系數與實系數多項式的因式分解

(7)有理系數多項式

2、行列式

(1)n階行列式的定義

(2)行列式的性質

(3)列式按行(列)展開公式

(4)行列式的計算

(5)矩陣的初等變換，階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣

(6)克萊姆法則

3、線性方程組

(1)線性方程組的初等變換

(2)n維向量空間

(3)線性相關性

(4)向量組的極大線性無關組和秩，矩陣的秩

(5)線性方程組有解的判別定理與解的結構

4、矩陣

(1)矩陣的運算

(2)矩陣的分塊

(3)矩陣的逆

(4)正交矩陣

(5)等價矩陣

(6)初等矩陣與初等交換的關系

5、二次型

(1)二次型及其矩陣表示

(2)化二次型為標準形

(3)復二次型和實二次型的規范形

(4)正定二次型，其它有定二次型

6、線性空間

(1)集合、映射

(2)線性空間的定義和簡單性質

(3)維數、基與坐標

(4)基變換與坐標變換

(5)線性子空間

(6)線性空間的同構

7、線性變換

(1)線性變換的定義和簡單性質

(2)線性變換的運算

(3)線性變換在給定基下的矩陣，矩陣的相似

(4)線性變換的特征值與特征向量

(5)矩陣的對角化

(6)不變子空間

(7)若當標準形

8、歐氏空間

(1)歐式空間的定義與簡單性質

(2)度量矩陣、施密特正交化過程、標準正交基

(3)子空間的正交補

(4)歐氏空間的同構

(5)正交變換、對稱變換與對稱矩陣

(6)最小二乘法

9、雙線性函數

(1)雙線性函數、對偶空間

(2)線性空間上的二次齊次函數

三、考試要求

1、多項式

理解數域上一元多項式的概念、多項式整除的概念和性質、最大公因式的概念和性質。掌握多項式的加法和乘法，會做帶余除法，會求最大公因式;了解多項式互素、不可約多項式、多項式的導數及重因式分解的概念。理解因式分解唯一性定理，會判別重因式;了解多項式函數和多項式根的概念，會求有理系數多項式的有理根。

2、行列式

理解n階行列式的概念與性質，掌握矩陣的初等變換;掌握行列式的計算，會運用行列式的性質，通過降階法和消去法及其綜合使用去計算行列式;熟悉克萊姆法則，會運用它解線性方程組。

3、線性方程組

理解消元法和矩陣初等變換的關系，掌握用矩陣初等變換解線性方程組的方法;理解線性相關、線性無關、線性表出的概念及其與線性方程組的關系，會判別向量組是否線形相關;理解向量組的秩和極大線性無關的概念，并會計算;理解矩陣的秩的概念，熟悉用初等變換求矩陣的秩和等價標準形的方法;熟悉線性方程組有解判別定理及其應用。

4、矩陣

理解矩陣可逆的概念，掌握矩陣可逆的判別，了解初等矩陣與初等變換的關系。知道對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣的概念;掌握矩陣的加法、乘法、數量乘法和轉置運算。掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會做矩陣的分塊運算。

5、二次型

理解二次型及其標準形、規范形的概念，二次型與對稱矩陣的一一對應關系。了解合同的概念及其性質;掌握用初等變換化二次型為標準形的方法;了解正定二次型的概念，會判別正定性，知道其它有定二次型的概念。

6、線性空間

理解集合、映射、單射、滿射的概念和性質;理解線性空間的概念，理解空間中基與維數的概念，理解基組在線性空間理論中的重要作用。掌握基變換與坐標變換的公式及其應用;理解子空間的概念，熟悉子空間判別方法。了解子空間的交與和、子空間的直和的概念，熟悉子空間的和是直和的幾個判別定理。熟悉維數公式;了解線性空間同構的概念，了解數域P上任一n維線性空間與Pn同構的定理。知道同一數域上兩個有限維線性空間同構的充要條件。

7、線性變換

理解線性變換的概念，理解線性變換在給定基下矩陣的概念，理解矩陣的相似、特征值與特征向量的概念，理解線性變換的對角化與矩陣的對角化的意義及其之間的關系，了解線性變換與矩陣的對應關系;了解特征多項式的概念及哈密頓-凱萊定理，了解線性變換的值域與核的概念，了解不變子空間的概念，知道根子空間的概念，知道最小多項式及其性質，知道若當標準形;掌握線性變換的矩陣表示及其對角化，熟悉同一線性變換在不同基下矩陣之間的關系及其計算方法。

8、歐氏空間

理解歐氏空間、標準正交基、正交變換與正交矩陣的關系。了解度量矩陣、向量的長度與夾角的概念。了解歐氏空間同構的概念和充要條件;掌握求標準正交基的方法;理解對稱變換及其充要條件，理解對稱變換與對稱矩陣的關系，掌握求實對稱矩陣正交相似標準形的方法。了解子空間正交補的概念，知道最小二乘法。

9、雙線性函數

掌握線性函數、對偶空間、對偶基和雙重對偶空間的概念;理解雙線性函數及其度量矩陣的定義;理解對稱雙線性函數的概念，知道對稱雙線性函數的度量矩陣的對角(分塊對角)形式。掌握二次函數的概念。

四、試題結構

1、填空題或選擇題(約占50分)

2、解答題(約占100分)

五、考試方式及時間

考試方式為閉卷、筆試，時間為3小時，滿分為150分。

六、主要參考資料

《高等代數》(第五版)，北京大學數學系前代數小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社，2019。