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暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科2022年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目

《高等代數(shù)》考試大綱

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)(基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運籌學(xué)與控制輪)碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣?yán)碚摗⒍�次型理論、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試內(nèi)容

(一) 多項式

1. 一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項式函數(shù)的概念及判別;

2. 復(fù)根存在定理(代數(shù)基本定理);

3. 根與系數(shù)關(guān)系;

4. 一些重要定理的證明，如多項式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質(zhì)，整系數(shù)多項式的因式分解定理等;

5. 運用多項式理論證明有關(guān)命題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質(zhì)有關(guān)的問題的證明與應(yīng)用;

6. 用多項式函數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論。

(二) 行列式

1.n -級排列、對換、n-級排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性;

2. n-階行列式的定義，基本性質(zhì)及常用計算方法(如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace展開法、Vandermonde行列式法);

3. Vandermonde行列式;

4. 行列式的代數(shù)余子式。

(三) 線性方程組

1. 向量組線性相(無)關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有(無)非零解的相關(guān)向量判別法、行列式判別法;

2. 向量組的極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其三個推論， 向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算;

3. Cramer法則，線性方程組有(無)解的判別定理，齊次線性方程組有(無)非零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計算和性質(zhì)、通解的求法;

4. 非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理;

(四) 矩陣?yán)碚?/p>

1. 矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論，如有關(guān)矩陣秩的不等式;

2. 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關(guān)系和應(yīng)用;

3. 矩陣的逆和矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形的概念及計算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì);

4. 行列式乘積定理;

5. 矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì);

6. 一些特殊矩陣的常用性質(zhì)，如，對角陣、三角陣、三對角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等;

7. 矩陣的跡、方陣的多項式;

8. 矩陣的常用分解，如等價分解、滿秩分解、實可逆矩陣的正交三角分解、約當(dāng)分解;

9. 應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些問題。

(五) 二次型理論

1. 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念和計算，慣性定理及其應(yīng)用;

2. 實二次型或?qū)崒ΨQ矩陣正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的概念及判定條件和應(yīng)用;

3. 實二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法。

(六) 線性空間;

1. 線性空間、子空間的定義及性質(zhì);

2. 線性空間中一個向量組的秩及計算方法;

3. 線性(子)空間的基和維數(shù)與向量關(guān)于基的坐標(biāo)，子空間的基擴充定理，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項式空間，函數(shù)空間;

4. 子空間的直和、維數(shù)公式;

5. 線性空間的同構(gòu);

6. 向量組線性相關(guān)或無關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明;

(七) 線性變換

1. 線性變換定義與運算及其矩陣表示;

2. 矩陣的特征多項式和最小多項式及其有關(guān)性質(zhì);

3. 線性變換及其對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量的概念和計算;

4. 線性變換及其矩陣的線性無關(guān)特征向量的判別和最大個數(shù)及特征子空間;

5. 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì);

6. 矩陣相似的概念及同一個線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系;

7. 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關(guān)系和計算;

8. 線性變換和矩陣可對角化的概念和條件;

9. Hamilton-Caylay定理。

(八) λ-矩陣

1. λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系;

2. 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。

(九) 歐氏空間

1. 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等;

2. 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì);

3. 歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念及其求法和性質(zhì)的證明與應(yīng)用;

4. 正交變換和正交矩陣的等價條件;

5. 對稱變換的概念及其簡單性質(zhì);

6. 實對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對角矩陣的求法;

7. 線性無關(guān)向量組的施密特(Schmidt)正交化方法;

8. Gram行列式、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換、酉空間和酉變換;

9. 正交相似變換和酉相似變換;

10. 最小二乘法。

三、考試方法和考試時間

高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

四、考試題型

填空題、單項選擇題、計算題、證明題。

五、主要參考書目

《高等代數(shù) 第五版》， 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組 編 ，高等教育出版社，2019