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814--《高等代數(shù)》考研大綱

一、基本要求

要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試范圍

(一)多項式

1.多項式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項式;

2.不可約多項式、因式分解唯一性定理、重因式、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定;

3.多項式函數(shù)與多項式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根的求法、根與系數(shù)的關系。

(二)行列式

1.行列式的定義及性質，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式;

2.行列式按一行、列的展開定理、Cramer法則、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式;

3.運用行列式的性質及展開定理等計算行列式。

(三)線性方程組

1.Gauss消元法與初等變換;

2.向量組的線性相關性、向量組的秩與極大線性無關組、矩陣的秩;

3.線性方程組有解的判別定理與解的結構。

(四)矩陣

1.矩陣的基本運算、矩陣的分塊及常用分塊方法;

2.矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價、矩陣的跡、方陣的多項式;;

3.逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關系，伴隨矩陣及其性質;

4.運用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

(五)二次型理論

1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標準形與規(guī)范形、慣性定理;

2.實二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法;

3.實二次型或實對稱矩陣的正定、半正定、負定、半負定的定義、判別法及其應用。

(六)線性空間

1.線性空間、子空間的定義與性質，向量組的線性相關性，線性(子)空間的基、維數(shù)、向量關于基的坐標，基變換與坐標變換，線性空間的同構;

2.子空間的基擴張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式;

3.一些常見的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)空間。

(七)線性變換

1.線性變換的定義、性質與運算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個線性變換關于不同基的矩陣之間的關系;

2.矩陣的特征多項式與最小多項式及其性質、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計算、特征子空間、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質;

3.線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關系及計算;

4.Hamilton-Caylay定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡、Jardan標準形。

(八)λ-矩陣

1.λ-矩陣的初等變換、標準型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關系;

2.λ-矩陣的等價與數(shù)字矩陣的相似;

3.Jordan標準形的的理論推導。

(九)歐氏空間

1.內積與歐氏空間的定義及性質，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構，正交子空間與正交補;

2.歐氏空間的度量矩陣、標準正交基、線性無關向量組的Schmidt正交化方法;

3.正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質;

4.實對稱矩陣的正交相似對角化的求法;最小二乘法、初等旋轉和鏡像變換。