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自然資源部第三海洋研究所碩士研究生入學考試

《高等數學(甲)》考試大綱

本大綱適用于自然資源部第三海洋研究所物理海洋學專業的碩士研究生入學考試。高等數學是物理海洋學科專業的基礎課程，主要目的是考查學生的高等數學的基本概念、基本理論、基本方法和常用的運算技能，其主要內容包括函數、極限、連續，導數與微分，一元函數積分學，一元函數微分學，多元函數微分學，多元函數積分學，無窮級數、微分方程，和線性代數等。同時測試考生的數學素質，考查掌握高等數學的基本思想和方法，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。

一、考試內容及要求

一、函數、極限、連續

理解函數概念，掌握基本初等函數的性質與圖形。了解極限的定義，掌握極限的四則運算法則。理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型。了解初等函數的連續性和閉區間上連續函數的性質(最大值、最小值定理和中值定理)并會應用這些性質。

二、一元函數微分學

理解導數與微分的概念，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線和法線方程。了解導數的物理意義。理解函數的可導與連續之間的關系。掌握導數與微分的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本的求導公式。了解高階導數的概念，會求函數的高階導數。理解羅爾定理、拉格朗日中值定理。掌握用洛必達法則求未定式的極限的方法。掌握用導數判別函數的增減性及求函數的極值、最大值和最小值的方法。會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪較簡單的函數的圖形。

三、一元函數積分學

理解原函數、不定積分、定積分概念，理解積分中值定理。掌握不定積分和定積分換元法和分部積分法，會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。理解積分上限函數及其求導定理，熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式。掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(如面積、體積)的方法。

四、多元函數微分學

理解多元函數概念，了解二元函數極限與連續概念以及有界閉區域上連續函數性質。理解偏導數、方向導數、梯度和全微分概念并掌握它們的計算方法。了解全微分存在的必要和充分條件。掌握復合函數與隱函數的一、二階導數的求法，了解曲線的切線及曲面的切平面與法線，會求函數的極值，會解決簡單的最值問題。

五、多元函數積分學

理解二重積分的概念并掌握其計算方法(直角坐標與極坐標)，并會用二重積分來計算一些幾何與物理量(如面積、體積、弧長、質量、重心)。

六、無窮級數與微分方程

理解數項級數收斂、發散以及和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。掌握基本初等函數展開為泰勒級數的冪級數展開式。了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離方程及一階線性微分方程的解法，了解齊次方程的解法。了解線性微分方程解的性質及結構定理。

七、線性代數

理解行列式的性質與計算。理解矩陣的概念，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量。會用線性方程組的克拉默(Cramer)法則，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的求法。理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念。會用初等行變換求解線性方程組。會將矩陣化為相似對角矩陣，會用正交變換和配方法化二次型為標準形。

主要參考書目：

1、《高等數學》(上、下冊).同濟大學數學系主編.北京：高等教育出版社, 第五版，2002。(為主要參考書，也可使用其后任一版本)

2、《線性代數》.同濟大學數學系編.北京：高等教育出版社, 第四版，2003.(也可使用其后任一版本)