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2022年研究生初試自命題科目考試大綱-數學

610《高等代數》

一、考查目標

“高等代數”是數學類專業的基礎課，它是研究線性系統和線性結構的一門數學學科，是幾乎所有數學后續課程的先修課程, 并且在自然科學的各個分支中有廣泛而深刻的應用。該課程考查考生對高等代數的基本概念、主要理論、重要方法的掌握程度，同時考查考生的數學抽象思維、邏輯推理及運算求解能力，提高分析問題、解決問題能力。

二、考試形式與試卷結構

1、考試形式

考試形式為閉卷、筆試;考試時間為3小時。

2、試卷結構

填空題、解答題，滿分計150分。

三、考試內容

(一)多項式理論： 多項式的整除，最大公因式，多項式的互素，不可約多項式與因式分解，重因式重根的判別，多項式函數與多項式的根。

重點掌握：重要定理的證明，如多項式的整除性質，不可約多項式的性質, 整系數多項式的因式分解定理等。運用多項式理論證明有關問題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質有關問題的證明與應用以及用多項式函數方法證明有關的問題。

(二)行列式： 行列式的定義、性質和常用計算方法(如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開法、Laplace展開法等)。

重點掌握：n階行列式的計算及應用。

(三)線性方程組：向量組線性相(無)關的判別。向量組極大線性無關組的性質、向量組之間秩的大小關系、矩陣的秩、Cramer法則，線性方程組有(無)解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件(用系數矩陣的秩進行判別、用行列式判別、用方程個數判別)、基礎解系的計算及其性質、通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結構。

重點掌握：向量組線性相(無)關的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎解系的性質、非齊次線性方程組解的結構與其計算。

(四)矩陣理論：矩陣的運算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關系及其應用(求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩)、矩陣的等價標準形、矩陣可逆的條件(與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關系)、伴隨矩陣及其性質、分塊矩陣、矩陣的常用分解(如：等價分解，滿秩分解，實可逆陣的正交三角分解等)，幾種特殊矩陣的常用性質(如：對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等)。

重點掌握：矩陣的逆與伴隨矩陣的性質與求法，應用矩陣理論解決一些相關問題。

(五)二次型理論：化二次型為標準形和規范形，實二次型在合同變換之下的規范型以及在正交變換之下的標準型的求法、慣性定律的應用，正定、半正定矩陣的判別及應用、正定矩陣的一些重要結論及其應用。

重點掌握：正定和半正定矩陣有關的證明，實二次型在合同變換之下的規范型以及在正交變換之下的標準型的計算。

(六)線性空間：線性空間、子空間的定義及性質、求線性空間中向量組的秩、求線性(子)空間的基與維數的方法、基擴充定理，維數公式，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間直和，一些常見的子空間(線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數空間、線性變換的特征子空間和不變子空間)。

重點掌握：向量組的線性相關與線性無關的綜合證明，求線性(子)空間的基與維數的方法，維數公式的證明及應用，特別是子空間直和的有關證明。

(七)線性變換：線性變換的定義與運算，線性變換與n階矩陣的對應定理，矩陣的特征多項式(包括最小多項式)及其有關性質，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關特征向量的判別及最大個數，實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，特征子空間，不變子空間，核與值域的定理. 線性變換(包括矩陣)可對角化的條件，Hamilton-Caylay定理。

重點掌握：線性變換(包括矩陣)的對角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換(矩陣)的特征值以及特征向量的性質，線性變換的核與值域。

(八)λ-矩陣：λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的標準型，行列式因子，不變因子，初等因子，三種因子之間的關系，Jordan標準型理論。

重點掌握：求矩陣的三種因子、Jordan標準型。

(九)歐氏空間: 內積和歐氏空間的定義及簡單性質(柯西-施瓦茲不等式，三角不等式，勾股定理等)。度量矩陣與標準正交基的求法以及性質的證明和應用，正交變換(正交矩陣)的等價條件，對稱變換，求正交矩陣T，使實對稱矩陣A正交相似于對角矩陣。

重點掌握：歐氏空間的概念，標準正交基，Schmidt正交化方法，正交變換和對稱變換。

四、推薦書目：

1、《高等代數》(第五版)北京大學編，高等教育出版社，2019年;

2、《高等代數》(第二版)黃廷祝等編，高等教育出版社，2016年。