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2023年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

科目代碼：602   科目名稱：數學分析與高等代數

一. 考試要求

主要考查學生對數學分析與高等代數的基本概念、基本理論與方法的理解與掌握，以及運用數學分析與高等代數的基本理論和方法分析和解決實際問題的能力。

二、考試內容

1. 數學分析

(1)函數、極限和連續

理解數集的概念及確界原理；掌握函數與反函數的概念、函數的特性；掌握數列極限與函數極限的概念、性質、運算法則和求極限的方法，掌握函數極限與數列極限之間的關系以及極限的柯西準則；掌握無窮大量與無窮小量的概念及性質；理解函數連續、一致連續的概念，掌握連續函數的性質。

（2）一元函數微分學

理解導數的概念，掌握求導法則，理解參變量函數的導數及高階導數并掌握其求法，掌握微分的概念及計算；掌握微分中值定理、求不定式極限的法則以及Taylor公式；理解函數極值與最值的概念并掌握極值的判別方法與最值的計算，理解函數凸凹性與拐點的概念并掌握其判定方法。

（3）一元函數積分學

理解不定積分概念和基本性質，掌握換元和分部積分法，掌握有理函數及可化為有理函數的簡單無理函數與三角函數有理式等的不定積分計算；理解定積分的定義，掌握定積分的基本性質、可積的充要條件、微積分學基本定理、積分中值定理、定積分的計算方法及應用；理解反常積分的概念，了解無窮積分和瑕積分的性質，掌握其收斂性的判別方法。

（4）級數

掌握數項級數收斂、絕對收斂與條件收斂的概念和性質，掌握正項級與一般項級數斂散判別方法；掌握函數項級數一致收斂的定義、性質和判別方法；掌握冪級數與Taylor級數的概念、冪級數的收斂域與和函數的分析性質，掌握常用基本初等函數的冪級數展開；理解函數Fourier展開式的定義，掌握函數展開為Fourier級數的充分條件，了解Fourier級數的收斂性定理。

（5）多元微分學

理解多元函數的概念；掌握多元函數的極限、累次極限的定義及計算；掌握多元函數連續的定義、性質；理解偏導數與方向導數的概念，掌握其計算法則；理解可微性、全微分和偏導數的概念，掌握多元函數可微的條件、幾何意義及其應用，掌握多元復合函數的求導法則及全微分的求法；掌握高階偏導數的概念及求法，了解多元函數中值定理和泰勒公式；理解多元函數極值的概念，掌握多元函數極值的求法；理解隱函數的概念、隱函數存在的條件，掌握隱函數定理和求導方法；理解條件極值的概念，掌握Lagrange乘數法。

  （6）多元積分學

掌握重積分的定義、性質及計算(重點為二重與三重積分)；掌握Green公式、曲線積分與路徑無關的條件；掌握兩類曲線積分的概念、性質、計算方法及二者的聯系；掌握兩類曲面積分的概念、性質、計算方法及二者的聯系；掌握Gauss公式與Stokes公式，了解場的概念。

（7）實數完備性

理解實數完備性的基本定理及應用。

2. 高等代數

（1）多項式與多項式矩陣

理解并掌握一元多項式的整除、最大公因式、因式分解和重因式等基本理論與方法；了解多項式與多項式函數之間的關系，了解對稱多項式的定義以及化對稱多項式為基本對稱多項式的多項式的方法。理解并掌握多項式矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子的概念與計算方法；掌握多項式矩陣等價標準形的計算方法；理解矩陣相似與多項式矩陣等價之間的關系，掌握矩陣相似的充要條件；掌握矩陣若當標準形、有理標準形和最小多項式的定義與計算方法。

（2）行列式與線性方程組

理解并掌握行列式的定義、性質、計算和應用等基本理論與方法，特別關注行列式在線性方程組、n維向量、矩陣、二次型、線性空間和線性變換等知識領域中的應用。理解并掌握線性方程組解的存在性、求解方法和解的結構特征。

（3）矩陣與二次型

理解并掌握矩陣運算的定義與性質、矩陣逆的定義與計算、伴隨矩陣的定義及其性質、矩陣秩的定義與計算方法、矩陣運算后行列式和秩的變換情況，了解初等矩陣和分塊矩陣的定義以及在矩陣理論中應用。理解二次型的矩陣表示和秩的定義，掌握化二次型為標準形和規范形的方法；掌握正定二次型和正定矩陣的定義與判定方法，理解實二次型的正慣性指數、負慣性指數和符號差的概念。

（4）線性空間與線性變換

理解并掌握線性空間的定義與性質、線性空間的基與維數、子空間的定義與運算等基本理論與方法；理解并掌握向量組的線性相關性理論與方法，特別是n維向量的線性相關、線性無關、極大線性無關組的定義與判定；掌握基變換公式、維數變換公式以及直和的判定條件。理解并掌握線性變換的定義、性質與矩陣表示；掌握線性變換的特征值與特征向量的定義與計算方法；理解線性變換的特征值與特征向量跟矩陣的特征值與特征向量之間的關系；掌握線性變換和矩陣可以對角化的條件；了解線性變換的值域和核的定義與計算方法。

（5） 歐氏空間

理解并掌握歐氏空間的定義與性質；理解正交基、標準正交基、正交變換、正交矩陣、正交補空間等的概念與性質；掌握施密特正交化過程和正交矩陣的構造方法；掌握利用正交變換化實二次型為標準形的方法。

三、考試形式

考試形式為閉卷、筆試，考試時間為3小時，滿分150分，其中數學分析90分，高等代數60分。

題型包括：計算題（約50分）、證明題（約60分）、綜合分析題（約40分）。

四、參考書目

1.《數學分析》，華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2019年，第五版。

2．《高等代數》．北京大學數學系編，高等教育出版社，2019年，第五版。