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中國地質大學(北京)2023年碩士研究生入學考試

《高等數學(610)》考試大綱與參考書目

考試性質

本門課程考試的內容為一元微積分學、常微分方程。注重考察考生對高等數學的基本理論和基本方法的掌握，評價標準是使高校優秀本科畢業生能達到及格或及格以上水平。

考試方式和考試時間

1. 答卷方式：閉卷、筆試

2. 答卷時間：180分鐘

試卷結構

題型比例：滿分150分，填空題與選擇題30%;解答題(包括證明)70%

考試內容和考試要求

(一)函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及函數的性質 復合函數、反函數、隱函數和分段函數 基本初等函數的性質及其圖形 初等函數 簡單應用問題的函數關系的建立 數列極限與函數極限的定義及其性質 函數的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限 函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質

考試要求

1、 理解函數的概念，掌握函數的表示法，會作函數符號運算并會建立應用問題的函數關系式。

2、 了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3、 理解復合函數和分段函數的概念、了解反函數和隱函數的概念。

4、 掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5、 理解數列極限和函數極限(包括左極限和右極限)的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

6、掌握極限的性質及四則運算法則。

7、理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限，理解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。

8、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

9、理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型。

10、了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。

(二)一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續性之間的關系 平面曲線的切線和法線及其方程 基本初等函數的導數 導數和微分的四則運算 復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法 高階導數 一階微分形式的不變性 羅爾定理(Rolle)、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、 泰勒(Taylor)定理 洛必達(L′Hospital)法則 函數單調性的判別 函數的極值 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪 函數最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半徑

考試要求

1、理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量。

2、掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。

3、了解高階導數的概念，會求一些簡單函數的高階導數。

4、會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

5、理解微分的概念以及導數與微分之間的關系，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

6、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。

7、掌握利用洛必達法則求未定式極限的方法。

8、理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。

9、會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

10、了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

(三)一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 積分上限的函數及其導數 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 反常(廣義)積分 定積分的應用

考試要求

1、理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。

2、理解定積分的概念，掌握定積分的性質和定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

3、會求有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。

4、理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5、了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6、掌握用定積分表達和計算的一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力)及函數的平均值。

(四)常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數齊次線性微分方程 簡單的二階常系數非齊次線性微分方程 微分方程的一些簡單應用

考試要求

1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2、掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程和伯努利方程.。

3、會用降階法解下列形式的微分方程：

4、理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5、掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

6、會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

7、會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

參考書目

《高等數學》，同濟大學數學系編，高等教育出版社，第七版;

《高等數學習題集》 ，同濟大學應用數學系編，高等教育出版社。