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上海電力大學(xué)2023年碩士研究生入學(xué)初試《數(shù)學(xué)分析》課程考試大綱

參考書目：

① 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編，《數(shù)學(xué)分析》(第五版)，高等教育出版社，2019年;

② 歐陽光中等編，《數(shù)學(xué)分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年。

一、復(fù)習(xí)總體要求

要求學(xué)生能掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本思想，具有較強的邏輯演繹能力、比較熟練的運算能力和運用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的綜合能力。

二、復(fù)習(xí)內(nèi)容

第一篇 極限的概念和計算

1. 極限的定義和性質(zhì)

2. 極限的計算

3. 函數(shù)的連續(xù)性

4. 實數(shù)的完備性

掌握數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念、極限的性質(zhì)、極限的各種計算方法;掌握(一致)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);掌握多元函數(shù)的累次極限與重極限;熟悉實數(shù)六大定理(確界定理、單調(diào)有界收斂定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、柯西收斂定理和有限覆蓋定理)及其等價性。

第二篇 一元函數(shù)微分學(xué)

1. 導(dǎo)數(shù)的概念

2. 導(dǎo)數(shù)的計算

3. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

掌握導(dǎo)數(shù)和微分的概念及意義;掌握各類函數(shù)的(高階)導(dǎo)數(shù)的計算方法;掌握微分中值定理(Rolle定理、Lagrange定理和Cauchy中值定理)及其應(yīng)用;掌握Taylor公式及(Lagrange余項和Peano余項)其應(yīng)用;掌握一元微分學(xué)在幾何和極值上的應(yīng)用。

第三篇 一元函數(shù)積分學(xué)

1. 不定積分概念與計算

2. 定積分概念與計算

3. 反常積分

4. 定積分的幾何和物理應(yīng)用

掌握不定積分和定積分的概念;了解函數(shù)可積的條件;掌握不定積分和定積分計算的基本公式、換元法和分部積分法;會求較簡單的有理函數(shù)、無理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分;掌握定積分在幾何和物理上的應(yīng)用方法;掌握反常積分的斂散性判別。

第四篇 多元函數(shù)微分學(xué)

1. 多元函數(shù)的可微性

2. 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

3. 泰勒公式與極值問題

4. 幾何應(yīng)用

掌握多元函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性之間的關(guān)系;能熟練計算(高階)偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)��?shù)、梯度;理解隱函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)(組)的微分法;掌握多元函數(shù)的Taylor公式;掌握無條件極值和條件極值的求解及應(yīng)用;會求曲線的切線和法平面方程以及曲面的切平面和法線方程。

第五篇 多元函數(shù)積分學(xué)

1. 含參量積分

2. 重積分

3. 曲線積分

4. 曲面積分

掌握含參變量(反常)積分的概念、一致收斂性的意義與判別法;掌握二重積分和三重積分的計算方法(特別是多重積分的換元積分法);掌握第一類曲線積分和第二型曲線積分的概念并會進行計算;掌握第一類曲面積分和第二型曲面積分的概念并會進行計算;熟練掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式;掌握多元積分學(xué)的簡單的幾何和物理應(yīng)用。

第六篇 級數(shù)

1. 數(shù)項級數(shù)

2. 函數(shù)項級數(shù)

3. 冪級數(shù)

4. 傅里葉級數(shù)

掌握數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念;熟練掌握(正項、一般項)數(shù)項級數(shù)收斂性的判定;掌握函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念和判定方法(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法);掌握冪級數(shù)的收斂域、求和與函數(shù)的冪級數(shù)展開;掌握傅里葉級數(shù)的計算及收斂性。