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《高等數學》考試大綱

一、考試內容和要求

(一)函數、極限、連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，能夠正確建立簡單應用問題中的函數關系.

2.了解函數有界性、單調性、周期性和奇偶性的概念，并能熟練分析函數圖形特征.

3.理解復合函數、分段函數、反函數以及隱函數的概念.

4.掌握基本初等函數的定義、性質以及圖形特征，了解初等函數的概念.

5.理解極限、單側極限的定義及其之間的相互關系.

6.熟練掌握極限的性質及四則運算法則.

7.熟練掌握并運用極限的兩個存在性準則以及兩個重要極限.

8.理解無窮小量、無窮大量的定義及其之間的關系，掌握無窮小量階的比較方法，掌握極限與無窮小量的關系，能夠正確利用等價無窮小量求解極限問題.

9.理解函數連續、單側連續的概念及其之間的關系，能夠熟練找出函數的間斷點并判斷其類型.

10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解并能熟練應用閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

(二)一元函數微分學

1.理解導數、單側導數、微分的概念，理解導數與單側導數、導數與微分的關系，掌握導數的幾何意義并能推導平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，能夠利用導數描述一些簡單的物理現象，理解函數的可導性與連續性之間的關系.

2.熟練掌握導數的四則運算法則、復合函數的求導法則以及反函數的求導方法，掌握基本初等函數的導數公式.熟練掌握微分的四則運算法則，理解并能應用函數的一階微分形式不變性，熟練掌握求解函數微分的方法.

3.理解高階導數的概念，熟練推導簡單函數的高階導數.

4.掌握分段函數、隱函數、由參數方程所確定的函數以及反函數導數的求解方法.

5.理解并會應用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西( Cauchy)中值定理.

6.熟練掌握應用洛必達法則求解未定式極限.

7.理解函數的極值、最值以及極值點、最值點的概念，掌握函數單調性的判別方法，掌握求解函數極值點和極值并判別最值和最值點的方法.

8.掌握函數圖形凹凸性的判別方法，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會繪制函數的圖形.

(三)一元函數積分學

1.理解原函數、不定積分和定積分的概念.

2.熟練掌握計算不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會求解有理函數、三角函數、有理式和簡單無理函數的積分.

4.理解變限積分(積分上限函數)及其求導方法，掌握牛頓一萊布尼茨公式.

5.理解反常積分的概念，會計算反常積分.

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力等)及函數的平均值.

(四)多元函數微積分學

1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義.

2.理解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上二元連續函數的性質.

3.理解多元函數偏導數的概念并能熟練求解多元復合函數的各階偏導數，掌握全微分的概念并能熟練求解多元函數的全微分，理解隱函數存在定理并會求解多元隱函數的偏導數.

4.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，理解二元函數極值存在的充分條件并求解二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求解函數條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標).

(五)無窮級數

1.理解級數收斂與發散、收斂級數和的概念.

2.掌握級數的基本性質和級數收斂的必要條件，掌握幾何級數及p級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法.

3.理解任意項級數絕對收斂、條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數的萊布尼茨判別法.

4.掌握冪級數收斂半徑、收斂區間及收斂域的概念與求解方法.

5.理解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，并求解簡單冪級數在其收斂區間內的和函數.

6.掌握ex.sin x .cos x .ln(1+x) 及(1+x)α 的麥克勞林(Maclaurin)展開式.

(六)常微分方程

1.理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程.齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.

3.掌握求解二階常系數齊次線性微分方程.

4.理解線性微分方程解的性質及解的結構定理，能夠求解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程.

5.能夠運用微分方程求解簡單應用問題.

二、參考書目

[1] 《高等數學》(第7版)上冊，同濟大學數學系編著，高等教育出版社，2014年;

[2] 《高等數學》(第7版)下冊，同濟大學數學系編著，高等教育出版社，2014年。

三、考試滿分和考試時間

試卷滿分150分，考試時間為三個小時。

四、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

不允許使用計算器。

五、試卷題型結構

試卷題型結構為：

單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分

填空題 6小題，每小題4分，共24分

解答題(包括證明題) 9小題，共94分