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中國地質(zhì)大學(北京)2025年碩士研究生入學考試《高等數(shù)學(610)》考試大綱與參考書目

考試性質(zhì)

本門課程考試的內(nèi)容為一元微積分學、常微分方程。注重考察考生對高等數(shù)學的基本理論和基本方法的掌握，評價標準是使高校優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達到及格或及格以上水平。

考試方式和考試時間

1. 答卷方式：閉卷、筆試

2. 答卷時間：180分鐘

試卷結(jié)構(gòu)

題型比例：滿分150分，填空題與選擇題30%;解答題(包括證明)70%

考試內(nèi)容和考試要求

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì) 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 簡單應用問題的函數(shù)關系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則 兩個重要極限 函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1、 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會作函數(shù)符號運算并會建立應用問題的函數(shù)關系式。

2、 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

3、 理解復合函數(shù)和分段函數(shù)的概念、了解反函數(shù)和隱函數(shù)的概念。

4、 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

5、 理解數(shù)列極限和函數(shù)極限(包括左極限和右極限)的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系。

6、掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7、理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限，理解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。

8、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

9、理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型。

10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質(zhì)。

(二)一元函數(shù)微分學

考試內(nèi)容

導數(shù)和微分的概念 導數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線和法線及其方程 基本初等函數(shù)的導數(shù) 導數(shù)和微分的四則運算 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導數(shù) 一階微分形式的不變性 羅爾定理(Rolle)、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、 泰勒(Taylor)定理 洛必達(L′Hospital)法則 函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半徑

考試要求

1、理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量。

2、掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。

3、了解高階導數(shù)的概念，會求一些簡單函數(shù)的高階導數(shù)。

4、會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。

5、理解微分的概念以及導數(shù)與微分之間的關系，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

6、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。

7、掌握利用洛必達法則求未定式極限的方法。

8、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。

9、會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

10、了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

(三)一元函數(shù)積分學

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 反常(廣義)積分 定積分的應用

考試要求

1、理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。

2、理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)和定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

3、會求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4、理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5、了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6、掌握用定積分表達和計算的一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力)及函數(shù)的平均值。

(四)常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 微分方程的一些簡單應用

考試要求

1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2、掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程和伯努利方程.。

3、會用降階法解下列形式的微分方程：

4、理解二階線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

5、掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

6、會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

7、會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

參考書目

《高等數(shù)學》， 褚寶增, 陳兆斗 主編，北京大學出版社;

《高等數(shù)學》，同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社，第七版;

《高等數(shù)學習題集》 ，同濟大學應用數(shù)學系編，高等教育出版社。