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上海電力大學2025年碩士研究生入學初試《常微分方程》課程考試大綱

參考書目：

① 蔡燧林，《常微分方程》(第四版)，杭州：浙江大學出版社，2018年;

② 丁同仁, 李承治，《常微分方程教程》(第二版)，北京：高等教育出版社，2004年.

一、復習總體要求

要求學生對常微分方程的基本概念和理論能正確理解，并具有一定的分析求解能力和利用變量數學方法解決生產實際問題的應用能力。

二、復習內容

第一章 初等積分法可求解的各類方程

1.微分方程的基本概念

2.可分離變量的微分方程

3.齊次方程

4.一階線性微分方程

5. 全微分方程

6. 可降階的高階微分方程

了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念以及將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟;掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法;掌握齊次線性微分方程的解法;會求解伯努利(Bernoulli)方程并從中領會用變量代換求解方程的思想;會解全微分方程;會用降階法求解方程：y (n)= f (x)，y''= f (x, y')和 y''= f ( y, y') 。

第二章 線性微分方程解的結構和求法

1.線性微分方程解的一般理論

2.二階齊次線性常系數微分方程的特征方程求解法

3.高階線性常系數微分方程的求法

4. 二階非齊次線性常系數微分方程特解的待定系數法

5. 歐拉方程的形式和解法

6. 劉維爾公式

7. 變動任意常數法求解非奇次線性微分方程的解法

了解n階齊次(非齊次)線性微分方程解的性質與結構;了解復值函數和復值解;了解用復數法求解帶三角函數的非齊次常系數線性微分方程;掌握二階齊次線性常系數微分方程的特征方程求解法;掌握二階非齊次線性常系數微分方程的特解的待定系數法;掌握歐拉方程的形式和解法;掌握劉維爾公式;掌握變動任意常數法求解非奇次線性微分方程的解法;掌握高階常系數線性齊次微分方程的求法。

第三章 線性微分方程組解的結構和求法

1.常系數齊線性微分方程組的特征值代數求法

2.求解常系數非齊線性微分方程組的常數變易法

3.求解非齊線性微分方程組的低階情形的代入消去法

了解一階齊(非齊)線性微分方程組解的性質與結構;掌握求解常系數齊線性微分方程組的方法;掌握求解常系數非齊線性微分方程組的常數變易法;掌握求解非齊線性微分方程組的低階情形的代入消去法。

第四章 穩定性理論及定性理論初步

1.一次線性近似決定微分方程組零解穩定性的方法

2. Routh-Hurwitz判據

3.李雅譜若夫第二方法判別穩定性的方法

4.平面初等奇點的分類方法

了解解的穩定性、零解穩定性及零解漸進穩定性的概念;了解定號函數的概念及判定以及相平面、相軌線與相圖的概念;掌握一次線性近似決定微分方程組零解穩定性的方法;掌握Routh-Hurwitz判據;掌握用李雅譜若夫第二方法判別穩定性的方法;掌握平面初等奇點的分類方法。