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線性代數的學習切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。

關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問題;(2)方程組如何求解，有多少個解;(3)方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。

高斯消元法是最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：(1)把某個方程的k倍加到另外一個方程上去;(2)交換某兩個方程的位置;(3)用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。因此我們可以得到線性方程組的三種表達形式如下：