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• 天津理工大學2026考研專業課復習資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

一、考試科目：實變函數

二、考試參考書目：<<實變函數與泛函分析概要>>（第三版）第一冊，高等教育出版社，2005.04。作者：鄭維行、王聲望編，

三、考試采用筆試方式，考試時間為120分鐘，試卷滿分為100分。

四、試卷結構與分數比重:

試卷共分為三部分：填空題、選擇題、計算與簡證明題

五、考查的知識范圍與要求:

（一）、集合及其運算

考查內容

1.集合及其運算；

2.映射.集的對等.可列集；

3.一維開集、閉集及其性質；

4.開集的構造；

5.n維歐幾得空間大意；

6.集的勢。

考查要求

1.理解集合、映射、集的對等、可列集及連續集等概念；

2.會進行集合的運算，并掌握可列集的常用性質；

3.掌握一維開集、閉集性質和結構；

4.理解n維歐氏空間開集和閉集的結構和點集的距離，會用分離性定理；

5.理解勢的概念，會簡單應用伯恩斯坦定理；

6.握康脫集的構造和簡單性質。

（二）、勒貝格測度

考查內容

1.有界集的內、外測度、可測集；

2.可測集的性質；

3.無界可測集與多維可測集的概念；

4.環上定義的測度。

考查要求

1.掌握有界開集、閉集測度的定義和有界集內、外測度的概念及有界集內外測度的簡單性質；

2.掌握有界可測集定義，理解無界可測集的概念；

3.掌握可測集的基本性質，會使用這些性質；

4.理解多維點集測度的概念，了解不可測集的存在性；

5.了解環上定義的測度。

（三）、可測函數

考查內容

1.可測函數的基本性質；

2.可測函數列的收斂性；

3.可測函數的構造.

考查要求

1.理解可測函數的概念和它的等價條件及簡單函數的可測性；

2.理解上下極限、連續函數、幾乎處處、近一致收斂、依測度收斂等概念；

3.理解簡單函數與可測函數間的關系，掌握可測函數的基本性質；

4.掌握可測函數列的幾種收斂的性質和它們的運算性質及可測函數與可測函數列的關系；

5.理解葉果洛夫定理、里斯定理、魯津定理并會應用它們；

6.掌握直線上有界可測集上的可測函數與直線上連續函數的關系。

（四）、積分理論

考查內容

1.勒貝格積分概念；

2.積分的性質；

3.積分序列的極限；

4.R積分與L積分的比較；

5.微分與積分。

考查要求

1.理解簡單函數的Lebesgue積分、一般可測函數的Lebesgue積分及無界集上的Lebesgue積分的概念；

2.掌握Lebesgue積分的基本性質并會應用基本性質計算；

3.理解Lebesgue積分的三大定理（法杜引理、勒維引理及Lebesgue控制收斂定理），會應用Lebesgue積分的三大定理證明和計算；

4.理解Lebesgue積分與黎曼積分的區別與聯系.

5.理解囿變函數的概念和它可表示兩個單調函數差的充要條件；

6．理解上絕對連續函數的概念和它的充要條件。

（五）、函數空間

考查內容

1.空間.完備性；

2.空間的可分性.

考查要求

1.理解空間的概念和它的完備性；

2.了解空間的可分性.