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2016年北京師范大學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)位碩士研究生招生考試大綱

762數(shù)學(xué)分析

2016年北京師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析大綱

一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容:實(shí)數(shù)概念及性質(zhì),確界原理,閉區(qū)間套定理.函數(shù)的概念及表示法,函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性,復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù),基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,初等函數(shù),函數(shù)關(guān)系的建立.

考試要求：

1.理解實(shí)數(shù)概念,掌握實(shí)數(shù)的小數(shù)表示及性質(zhì).

2.掌握確界概念并會(huì)應(yīng)用確界原理.

3.掌握閉區(qū)間套概念并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間套定理.

4．理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.

5．掌握函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．

6．掌握復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．

7．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,理解初等函數(shù)的概念.

二、數(shù)列與一元函數(shù)的極限

考試內(nèi)容:數(shù)列極限和函數(shù)極限（簡(jiǎn)稱(chēng)極限）的定義,數(shù)列的上、下極限,函數(shù)的單側(cè)極限(自變量趨于單點(diǎn)時(shí)函數(shù)的左極限與右極限,自變量趨于正或負(fù)無(wú)限大時(shí)函數(shù)的極限),函數(shù)的單側(cè)上、下極限,無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系,無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較,極限的性質(zhì),極限存在的兩個(gè)判別準(zhǔn)則:

柯西(Cauchy)準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則,兩個(gè)重要極限:致密性定理,聚點(diǎn)定理,數(shù)列極限的施托爾茨(Stolz)定理,函數(shù)極限的海涅(Heine)定理.開(kāi)集、閉集和緊集，有限開(kāi)覆蓋定理.

考試要求:

1．掌握極限的概念(包括某一極限過(guò)程中數(shù)列或函數(shù)的收斂與發(fā)散),理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系．

2．掌握極限的性質(zhì)(有界性、唯一性、保號(hào)性、算術(shù)性質(zhì)、保序性、夾逼性質(zhì)等).

3．掌握極限存在的柯西準(zhǔn)則,并會(huì)利用它判斷極限的存在與否.

4.掌握極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則,能夠用其判斷數(shù)列收斂或在某一極限過(guò)程中函數(shù)收斂,并在可能的情況下求出極限.

5.掌握致密性定理(有界數(shù)列必有收斂子列),聚點(diǎn)定理(有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)).

6.掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法,會(huì)用施托爾茨定理求極限．

7．掌握無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的比較方法,會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限．

8．掌握函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型．

9.掌握海涅定理并會(huì)利用它判斷極限的存在與否.

10.理解開(kāi)集、閉集的概念和性質(zhì),掌握緊集與開(kāi)覆蓋的概念、有限開(kāi)覆蓋定理.

三、一元函數(shù)的連續(xù)

考試內(nèi)容:函數(shù)連續(xù)的概念和性質(zhì),函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型,初等函數(shù)的連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

考試要求:

1.理解連續(xù)函數(shù)的概念、性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)．

2．理解連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性概念,掌握有界閉區(qū)間上的海涅-康托爾(Heine-Cantor)一致連續(xù)定理.

四、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)和微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義,函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn),導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法,高階導(dǎo)數(shù),萊布尼茲求導(dǎo)公式,一階微分形式的不變性,微分中值定理,泰勒(Taylor)公式,洛必達(dá)(L'Hospital)法則,函數(shù)單調(diào)性的判別,函數(shù)的極值,函數(shù)的最大值和最小值,函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(xiàn),函數(shù)圖形的描繪,插值多項(xiàng)式和方程近似求根.

考試要求:

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念,理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程,了解導(dǎo)數(shù)的物理意義,會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量,理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系．

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性,會(huì)求函數(shù)的微分．

3．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念、萊布尼茲求導(dǎo)公式,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．

4．會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù),會(huì)求隱函數(shù)及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5．掌握羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、達(dá)布導(dǎo)函數(shù)介值定理和泰勒(Taylor)定理(帶幾種余項(xiàng)的)．

6．掌握洛必達(dá)法則以及用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法．

7．理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法,掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．

8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線(xiàn),會(huì)描繪函數(shù)的圖形．

9．理解插值多項(xiàng)式和方程近似求根．

五、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容:原函數(shù)和不定積分的概念,不定積分的基本性質(zhì),基本函數(shù)的積分公式,定積分(指黎曼積分)的概念和基本性質(zhì),定積分中值定理,積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),黎曼可積的判別準(zhǔn)則,牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式,不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法,有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,反常(廣義)積分,定積分的應(yīng)用.

考試要求:

1.理解原函數(shù)的概念,掌握不定積分和定積分的概念．掌握函數(shù)是黎曼可積的必要條件,掌握函數(shù)黎曼可積的判別準(zhǔn)則.

2.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理,掌握換元積分法與分部積分法．

3．掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分．

4．理解積分變上限的函數(shù),會(huì)求它的導(dǎo)數(shù),掌握牛頓－萊布尼茨公式．理解定積分的近似計(jì)算.

5．理解反常積分的概念和性質(zhì),掌握判斷廣義積分收斂與否的方法,會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的廣義積分．

6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值．

六、無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容:（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：收斂與發(fā)散的概念,收斂級(jí)數(shù)的和的概念,級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件,幾何級(jí)數(shù)與,p級(jí)數(shù)及其收斂性,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法,交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理,任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂.（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：收斂域、和函數(shù)、一致收斂概念,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法、和函數(shù)的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性和可積性；逐項(xiàng)求極限、求微分和逐項(xiàng)求積分),（三）冪級(jí)數(shù):冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域,冪級(jí)數(shù)的和函數(shù),冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì),簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法,初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.（四）三角級(jí)數(shù)與函數(shù)的傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)：2л-周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù),黎曼引理,貝塞爾不等式,傅里葉級(jí)數(shù)收斂的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷(Dirichlet)判別法,傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理,2l(l>0)-周期函數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

考試要求:

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念,掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.

2．掌握幾何級(jí)數(shù)與\,$p$級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的柯西判別準(zhǔn)則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、拉比(Raabe)判別法、積分判別法等.

4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.

5.掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念、絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積.

6.掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

7.理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念及性質(zhì).

8.掌握判別函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂與否的方法(柯西準(zhǔn)則、優(yōu)級(jí)數(shù)判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法和迪尼判別法等),掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì).

9．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

10．理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分),會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù),并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

11．理解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.

12．掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)ex,ln(1+x),sinx,cosx,(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式,

會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).

13．理解正交函數(shù)系、傅里葉系數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)的概念.掌握黎曼引理,局部化定理,貝塞爾不等式.掌握傅里葉級(jí)數(shù)的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷判別法及收斂定理.

14.會(huì)將定義在閉區(qū)間[-l,l)上的黎曼可積函數(shù)延拓成周期為2l的函數(shù)并展開(kāi)其傅里葉級(jí)數(shù),會(huì)將定義在[0,l)上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.

七、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容:多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的幾何意義,多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念,多元函數(shù)極限存在與否的判斷,二元函數(shù)的累次極限,有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分、二階乃至更高階偏導(dǎo)數(shù),全微分存在的必要條件和充分條件,隱函數(shù)存在定理,反函數(shù)存在定理,多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、二階導(dǎo)數(shù),方向?qū)��?shù)和梯度,空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面,曲面的切平面和法線(xiàn),二元

函數(shù)的二階泰勒公式,多元函數(shù)的極值和條件極值,多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

考試要求：

1．理解多元函數(shù)的概念,理解二元函數(shù)的幾何意義.

2．理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,會(huì)求全微分,理解全微分存在的必要條件和充分條件,理解全微分形式的不變性.

4．理解方向?qū)��?shù)與梯度的概念,并掌握其計(jì)算方法.

5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，以及一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

6．理解隱函數(shù)存在定理,會(huì)求多元隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)以及一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).

7．理解空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面及曲面的切平面和法線(xiàn)的概念,會(huì)求它們的方程.

8．理解多元函數(shù)的泰勒公式.

9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念,掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件,理解多元函數(shù)極值存在的充

分條件,會(huì)求簡(jiǎn)單的多元函數(shù)的極值,會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值,并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

八、含參變量的廣義積分

考試內(nèi)容:含參變量的廣義積分的概念,含參變量的廣義積分一致收斂的概念,含參變量的廣義積分的分析性質(zhì),一些含參變量的廣義積分的計(jì)算.伽瑪(Gamma)函數(shù),貝塔(Beta)函數(shù).

考試要求:

1.掌握常義含參變積分的概念、基本性質(zhì)和定理.

2.理解含參變量廣義積分收斂、一致收斂的概念，掌握含參量廣義積分的魏爾斯特拉斯判別法、柯西準(zhǔn)則、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法及迪尼判別法.

3.掌握含參變量的廣義積分的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性和可積性)的定理.

4.掌握一些廣義積分及含參量廣義積分的計(jì)算.理解含參量廣義積分概念和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念之間的關(guān)系.

5.理解伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)及其性質(zhì)和關(guān)系,理解斯特林公式.

九、多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容：二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用,兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算,兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的關(guān)系,格林（Green）公式,平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,二元函數(shù)全微分的原函數(shù),兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算,兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系,高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stokes)公式,散度、旋度的概念及計(jì)算,曲線(xiàn)積分和曲面積分的應(yīng)用.

考試要求:

1．理解重積分的概念、性質(zhì).

2．掌握二、三重積分的計(jì)算方法,特別是積分變換（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)以及其他簡(jiǎn)單的變換）,會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的重?cái)?shù)高于三的重積分.

3．掌握兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.

4．掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的方法.

5．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù).掌握斯托克斯公式并會(huì)運(yùn)用其計(jì)算曲線(xiàn)積分,會(huì)運(yùn)用曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件求三元函數(shù)全微分的原函數(shù).

6．理解兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系,掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法,掌握高斯公式并會(huì)運(yùn)用其計(jì)算曲面積分的方法.

7．理解散度與旋度的概念,并會(huì)計(jì)算.

8．會(huì)用重積分、曲線(xiàn)積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）.