2016年考研數學大綱：一元積分解析

考研數學大綱來源：中國考研網 2015-09-18　

新考研大綱如約而至。對考研人而言，關注點應從對考綱的關注轉到如何更有效地復習上。考慮到這階段的同學已經歷了基礎階段和暑期的復習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。所以，借助此次與廣大考研人交流的機會，梳理高等數學中的重難點，以期給正在全力攀登的考研人搭一把手。

專題四一元積分

一元積分包括三部分內容：不定積分、定積分和廣義積分。下面逐一討論。

1.不定積分

不定積分主要考什么?概念、性質、計算?計算!下面就梳理一下不定積分的計算方法。該方法可總結為"一個基礎兩個方法"。所謂"一個基礎"指：有理函數積分的處理方法;所謂"兩個方法"指根式的處理方法和分部積分法。

何謂有理函數積分?即被積函數為有理函數的積分。而有理函數即分子分母分別為n次和m次多項式的函數。有理函數積分是整個不定積分計算的基礎，因為很多其他類型的積分(如指數有理式積分、三角有理式積分等)可化為有理函數積分。考試直接考有理函數積分的可能性不大，但可能間接考，也就是在計算過程中的某一步用到有理函數積分的處理方法。那如何處理?簡單說就是在老舊危房的墻壁上我們經常看到的那個字--拆。如何拆?教材和較權威的輔導書上都有討論，總結起來有三種情況：被積函數若含有x-a這種一次因子，則被積函數拆出一項A/(x-a)，其中A為待定參數;若含有(x-a)^2這種二次因子，則被積函數拆出兩項A/(x-a)+B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b這種二次因子(該拋物線無零點)，則被積函數拆出一項(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

接下來，討論根式的處理。若被積函數含有根號，我們自然想到去根號。如何去根號取決于根號下面表達式的具體形式：如果根號下面是關于x的一次式子，那么整體令成t，就能達到去根號的效果;如果根號下面是關于x的二次式子，要去根號，我們可以考慮通過換元讓根號下面整體出現一個平方，這時要借助一些三角恒等式，如根號下面是1-x^2，我們令x=sint就能達到效果;如果根號下面是其他形式，基本思路也是去根號，可類似上面考慮。當然，這里的"換元"更嚴格的表述是不定積分的換元，注意不光要把被積函數中的變量換掉，還要把微分號中的變量也換成新的積分變量。

說著說著就說到了考試的重點內容分部積分了。首先要把分部積分的公式弄清楚，可以這樣形式地記憶：被積函數是兩個函數的乘積，先把一個函數湊微分(從形式上看就是把這個函數拿到微分號中)，進一步等于新的積分式中的兩個函數相乘減去兩個函數交換位置。

接下來要處理好"何時用"和"怎么用"這兩個問題。數學上的道理和生活中的道理是相通的：打游戲時想放大招，若把握不好這兩個問題，那就可能出現不該放招時放了大招而該放大招時卻沒有大招了，也可能出現想放大招卻放不出的囧境;打籃球時要用好自己的身體，如果這兩個問題處理不好，就可能在不恰當的時間出現在不合適的位置，想為球隊做貢獻卻總是添亂。那么什么時候想到用分部積分法呢?有兩個信號(滿足其一即可)：1)被積函數是不同類型函數之積;2)被積函數含有對數函數、反三角函數和多項式等求導后比自己簡單的函數。

如果確定用分部積分法，那么u(x)和v'(x)的選取是個關鍵問題。如何選?觀察分部積分公式，不難發現等號左邊有u(x)，而等號右邊會出現u'(x)，說明求導后比自己簡單的函數適合作為u(x)，如lnx，arctanx和多項式等;另外，等號左邊有v'(x)，第一步需要把v'(x)拿到微分號中，說明容易湊微分的函數適合作為v'(x)，如sinx，exp(x)等。

考試考不定積分計算主要考察根式的處理和分部積分法。有多種小的類型，如"一箭雙雕"型(用變量代換這支箭射下根號和反三角函數這兩只雕)，"相互抵消"型(兩項單獨用分部積分難以算出結果，但在計算過程中這兩項能抵消)等。需大量練習才能達到熟練的要求。

2.定積分

先說定積分的定義。幾何意義是曲邊梯形面積的代數和。特殊情況下(區間取[0,1]，等分，在每個小區間上取右端點處的函數值)的定積分定義可作為一個公式求一種特殊類型的極限--n項分母互不相同的分式的和的極限。此外，數一數二同學還需掌握微元法的基本思想。

再說定積分的性質。定積分的大部分性質在計算過程中經常用到，在此不必贅述。值得一提的是比較定理。該定理告訴我們，比較定積分的大小，在保證積分區間相同的情況下，實質上就是比較被積函數的大小。考試考定積分的比較本質上都是在考比較定理。

微積分基本定理從本質上解決了定積分的計算問題。根據牛頓-萊布尼茲公式，求定積分在被積函數連續的情況下只需求出被積函數的一個原函數，再計算其函數值之差即可。

下面我們說說定積分有什么特殊性質。首先是對稱區間積分，我們比較熟悉的是被積函數是奇函數或偶函數時的性質，此外真題中出現了一種新的情形：被積函數有一個因子是偶函數且其余部分有特殊性質，也有相應的結論。可以記住這個結論，用它來做同種類型的題目。接著就是做變量代換后區間不變的情況。如被積函數為f(sinx)，積分區間為0到pi/2，若做變量代換：x=pi/2-t可得到另一個積分，從形式上看，相當于把原積分的sin換成了cos。這也可以為我們解題提供思路。此外，就是定積分的分部積分法。這里有若干種小的類型，如被積函數含有抽象函數的導函數f'(x),f''(x)等，被積函數含有變限積分均可考慮定積分的分部積分法。另外，作為全面復習，"點火公式"(被積函數為sinx的n次冪，積分區間為0到pi/2)也不應放過。

3.廣義積分

廣義積分不少同學不熟悉，實際上考研要求很明確：會用定義判斷廣義積分的斂散性;會計算廣義積分。

定積分要存在需滿足兩條：積分區間有限且被積函數有界。破壞這些條件得到的積分稱為廣義積分。具體說來，無窮區間的廣義積分有三種：積分上限為無窮，積分下限為無窮，積分上、下限均為無窮;無界函數的廣義積分(也稱瑕積分，因為被積函數在積分區間無界，在區間內部或端點處一定有讓被積函數無界的點，這種"不好"的點我們稱為瑕點)也有三種：瑕點在區間的左端點，瑕點在區間的右端點，瑕點在區間的內部。

廣義積分收斂發散的定義的形式看起來較復雜，可以按照如下方式理解：把廣義積分按照定積分的牛頓-萊布尼茲公式算出來(把正負無窮帶入看成取極限，瑕點處的函數值也看成取極限)，如果結果是個數，則廣義積分收斂;如果不存在，則廣義積分發散。

這里要特別注意兩類積分：積分上、下限均為無窮的廣義積分和瑕點在區間的內部的廣義積分。前者在用牛頓-萊布尼茲公式之前，要用0把積分區間拆成兩個區間，進而把積分拆成兩個積分，然后運用前面的方法討論這兩個積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個積分都收斂;后者要用瑕點把積分區間拆成兩個區間，進而把積分拆成兩個積分，然后運用前面的方法討論這兩個積分的斂散性，原積分收斂的充要條件是這兩個積分都收斂。

廣義積分的計算就是定積分加取極限。如果是上文提到的那兩種特殊類型的廣義積分，先拆成兩個積分，再計算即可。