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《實變函數與泛函分析》考試大綱

專業代碼：070101、070102、070103、070104

專業名稱：基礎數學、計算數學、概率論與數理統計、應用數學

考試科目代碼：840考試科目名稱：實變函數與泛函分析

（一）考試內容

試題以程其襄等編著《實變函數與泛函分析基礎》（第二版）（高等教育出版社，2003年12月，北京）為藍本，內容涵蓋該教材的第一至五章和第七至十章，以可測函數、積分論和有界線性算子的知識為主，兼顧測度論、賦范線性空間和內積空間等方面的內容。試題重點考查的內容：

一、測度論

1．外測度

2．可測集

二、可測函數

1．可測函數及其性質

2．葉果洛夫定理與魯津定理

3．依測度收斂

三、積分論

1．勒貝格積分的定義及性質

2．一般可積函數

3．積分的極限定理與富比尼定理

四、賦范線性空間和有界線性算子

1．賦范線性空間和巴拿赫空間

2．有界線性算子和連續線性泛函

五、內積空間

1．投影定理

2．希爾伯特空間的規范正交系和連續線性泛函

六、巴拿赫空間中的基本定理

1．泛函延拓定理

2．綱定理、一致有界性定理、逆算子定理和閉圖像定理

3．強收斂、弱收斂和一致收斂

（二）考試的基本要求

1．基本概念清晰

對可測集、可測函數、勒貝格積分、賦范線性空間、有界線性算子、內積空間等基本概念的理解要清晰全面。

2．知識點的綜合運用

注重各知識點之間的聯系和對知識點的綜合運用。例如：能熟練運用可測集、可測函數、勒貝格積分的各種性質解決積分論中的綜合性問題；能運用有界線性算子和連續線性泛函的理論解決具體實例中的范數問題；能熟練運用內積空間中的Bessel不等式和Parseval等式；能理解強收斂、弱收斂和一致收斂的區別和聯系，等等。

（三）考試形式

筆試、閉卷

（四）考試基本題型

基本題型可能有：填空題、計算題、解答題和證明題等。