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625數學分析考試大綱

一、考試目的

《數學分析》作為全日制碩士研究生入學考試的專業基礎課考試，其目的是考察考生是否具備進行本學科各專業碩士研究生學習所要求的水平。

二、考試的性質與范圍

本考試是一種測試應試者綜合運用所學的數學分析的知識的尺度參照性水平考試。考試范圍包括數學分析的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決數學分析問題的能力。

三、考試基本要求

1.熟練掌握數學分析的基本概念、命題、定理；

2．綜合運用所學的數學分析的知識的能力

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內容（或知識點）

一、數列極限

數列、數列極限的定義，收斂數列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算，單調有界數列極限存在定理。柯西準則，重要極限。

二、函數極限

函數極限。定義，定義，單側極限，函數極限的性質——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算、歸結原則（Heine定理）。函數極限的柯西準則。
無窮小量及其階的比較，無窮大量及其階的比較，漸近線。

三、函數的連續性

函數在一點的連續性、單側連續性、間斷點及其分類。在區間上連續的函數，連續函數的局部性質——有界性、保號性。連續函數的四則運算。復合函數的連續性。
閉區間上連續函數的性質——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性、反函數的連續性，初等函數連續性。

四、導數和微分

導數定義，單側導數、導函數、導數的幾何意義、費馬(Fermat)定理。和、積、商的導數、反函數的導數、復合函數的導數、初等函數的導數、參變量函數的導數、高階導數、微分概念、微分的幾何意義、微分的運算法則。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式極限，洛比達（L’Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項、拉格朗日余項、積分型余項）。極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點，函數圖的討論。

六、實數的完備性

區間套定理，數列的柯西（Cauchy）收斂準則，聚點原理，有界數列存在收斂子列，有限覆蓋定理。

七、不定積分

原函數與不定積分，換元積分法、分部積分法，有理函數積分法，三角函數有理式的積分法，幾種無理根式的積分。

八、定積分

牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數類。絕對可積性，積分中值定理，微積分學基本定理。換元積分法，分部積分法。

九、定積分的應用

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分。微元法、旋轉體體積與側面積，物理應用（引力、功等）。

十、反常積分

無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數反常積分概念，無界函數反常積分收斂性判別法。

十一、數項級數

級數收斂與和，柯西準則，收斂級數的基本性質，正項級數比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法。一般項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數的重排定理。

十二、函數列與函數項級數

函數列與函數項級數的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則。函數項級數的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優級數判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數列極限函數與函數項級數和的連續性、逐項積分與逐項求導。

十三、冪級數

冪級數的收斂半徑與收斂區間，一致收斂性、連續性、逐項積分與逐項求導，冪級數的四則運算。

泰勒級數、泰勒展開的條件，初等函數的泰勒展開。

十四、傅里葉（Fourier）級數

三角級數、三角函數系的正交性、傅里葉（Fourier）級數，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2π為周期的函數展開，傅里葉級數的收斂定理，以2π為周期的函數的傅里葉級數，奇函數與偶函數的傅里葉級數。

十五、多元函數的極限和連續

平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域），平面點集的基本定理——區域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理。

二元函數概念。二重極限、累次極限，二元函數的連續性、復合函數的連續性定理、有界閉域上連續函數的性質。

十六、多元函數的微分學

偏導數及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，混合偏導數與其順序無關性，高階導數，高階微分，二元函數的泰勒定理，二元函數的極值。

十七、隱函數定理

隱函數概念、隱函數定理、隱函數求導。

隱函數組概念、隱函數組定理、隱函數組求導、反函數組與坐標變換，函數行列式。

幾何應用，條件極值與拉格朗日乘數法。

十八、含參量積分

含參量積分概念、連續性、可積性與可微性，積分順序的交換。

含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續性、可積性與可微性，Gamma函數。

十九、曲線積分

第一型和第二型曲線積分概念與計算，兩類曲線積分的聯系。

二十、重積分

二重積分定義與存在性，二重積分性質，二重積分計算（化為累次積分）。格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關條件。二重積分的換元法（極坐標與一般變換）。

三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）。

重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）。

無界區域上的收斂性概念。無界函數反常二重積分。

在一般條件下重積分變量變換公式。

二十一、曲面積分

曲面的側。第一型和第二型曲面積分概念與計算，高斯公式。斯托克斯公式。

場論初步（梯度場、散度場、旋度場）。

六、考試題型

計算題、證明題。

七、參考書目：本科通用教材