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945微分方程與復變函數考試大綱

附件：碩士生入學考試學校自命題科目復試大綱

（常微分方程）復試大綱

一、考試目的

《常微分方程》是基礎數學、應用數學專業碩士生入學復試的專業課程，其目的是測試考生對該課程的掌握情況。

二、考試的性質與范圍

本考試是一種測試考生綜合運用常微分方程知識點的水平考試。考試的范圍包括常微分方程的基本概念、基本解法、基本技巧和基本理論。考察學生對要求掌握的知識點的掌握情況。

二、考試基本要求

掌握常微分方程的基本解法、基本技巧及基本理論。

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內容（或知識點）

1．一階方程的初等解法

1）變量分離方程的解法2）線性方程的解法3）恰當方程4）積分因子5）一階隱式方程的解法。

2．一階方程的解的存在定理

1）存在唯一定理的條件與結論2）證明方法與步驟3）解的延拓4）奇解。

3．高階方程

1）線性方程的一般理論2）常系數方程的解法3）高階方程的降階

4．線性方程組

1）線性方程組的一般理論2）常系數線性方程組的解法

5．定理理論初步

1）平面常系數線性系統的奇點類型2）平面非線性系統的線性近似3）極限環

六、考試題型

求方程的解，畫奇點附近的相圖，證明題。

七、參考書目：本科通用教材

碩士生入學考試學校自命題科目考試大綱模板

（945+復變函數）考試大綱

一、考試目的：

《復變函數》作為全日制數學碩士專業學位入學考試，其目的是考察考生是否具備進行數學碩士專業學習所要求的數學水平。

二、考試性質與范圍：

本考試是一種測試應試者復變函數知識和應用能力的尺度參照性水平考試。考試范圍包括復變函數的一些基本概念、基
本理論、基本方法，以及應用這些概念與方法解決實際問題的基本技能。

三、考試基本要求

1.掌握復變函數的基本理論，主要內容是：復數、解析函數、單復變函數的微分、積分、級數、留數和共形映射。

2.掌握復變函數的基本運算，如求復積分，解析函數的級數展開，奇點的判定，留數定理的應用，簡單區域共形映射的作法等。

四、考試形式

本考試采取閉卷筆試的方法。主要題型為解答題。

五、考試內容：

第一章復數與復變函數

掌握并熟悉復平面的基礎知識和復函數的概念，掌握區域和復數的各種表示方法及其運算，了解復球面的建立與球極投影，和復變函數的定義與二元實函數的關系。

考核要求：

1、復數:復數的各種運算、表示法和三角不等式;2、復平面上點集:平面點集的幾個基本概念;區域、約當曲線;3、復變函數:復極限、復連續;4、復球面和無窮遠點:無窮遠點

第二章解析函數

理解復變函數可導與解析的概念，弄清這兩個概念之間的關系。熟練掌握解析函數的C－R條件，能運用C－R條件判定函數的解析性。熟練掌握和運用解析函數的求導與求導公式。熟練掌握指數函數、冪函數、三角函數的定義和基本性質以及簡單映射性質。并會運用歐拉公式和復數的指數表示。

考核要求：

1、解析函數的概念與C－R條件

1.1復變函數可導與解析;1.2解析函數的C－R條件

2、初等解析函數：指數函數、冪函數、三角函數

3、初等多值函數：各初等多值函數的定義和基本性質

第三章復變函數的積分

掌握復變函數沿一條逐段光滑曲線積分的定義，基本性質和計算方法。熟練掌握柯西積分定理并能證明。理解解析函數在單連通區域內的不定積分概念。熟練掌握和運用柯西積公式與高階導數公式。掌握柯西不等式、劉維爾定理、最大模原理，莫勒拉定理。

考核要求：

1、復積分的概念性質;2、Cauchy積分定理;3、Cauchy積分公式及推論;

3.1柯西積公式與高階導數公式

3.2劉維爾定理（領會）

4、解析函數與調和函數的關系

4.1解析函數與調和函數的關系

第四章級數

理解復數項級數的基本概念，掌握一致收斂性的判別法。掌握冪級數的基本性質和求收斂半徑的公式，理解冪級數在收斂圓內的內閉一致收斂性與所定義函數的分析性質。記住exp（z）,Ln(1+z),sinz,cosz和(1+z)^a的冪級數展開式，并能熟練的運用。掌握解析函數零點的孤立性定理和解析函數唯一性定理。理解羅郎級數的概念，會求出一些簡單的羅郎級數的展開式及收斂域。掌握解析函數孤立奇點的三種類型及其特征與性質及在無窮遠點的性質。

考核要求：

1、復級數的基本性質

2、冪級數

3、解析函數的零點，唯一性定理

4.解析函數的羅朗展式

5解析函數的孤立奇點

6.解析函數的無窮遠點的性質

第五章留數

留數的定義及計算方法，無窮遠點的留數。留數定理。利用留數定理計算實積分。輻角原理，Ruché(儒歇)定理及其應用.

考核要求：

1、掌握留數的定義、留數定理及留數的計算方法

2、了解利用留數定理計算實積分的一般方法，并能計算常見的三種類型的實積分

第六章保形映照

理解導數的模與輻角的幾何意義和保形映射概念。熟練的掌握ez,Inz,zn以及儒可夫斯基函數的映射性質。熟練掌握分式線性映射的基本性質。能將一些較簡單的單連通區域變換成單位圓或上半平面。了解黎曼映射定理和邊界對應定理。

考核要求：

1、expz、Lnz、z^n以及儒可夫斯基函數的映射性質。

2、掌握分式線性映射的基本性質。

3、會綜合應用分式線性函數、ez、zn及儒可夫斯基函數作一些較簡單的單連通區域間的變換。